Правило нахождения обратной матрицы

Дополнительным минором M_{i j} к элементу a_{i j} квадратной матрицы A n -го порядка называется определитель матрицы n - 1-го порядка, которая получается из матрицы A путем вычеркивания i -ой строки и j -го столбца (на пересечении которых стоит элемент a_{i j}).
Алгебраическим дополнением A_{i j}, элемента a_{i j} называется величина
A_{i j} = (-1) ^i+j· M_{i j}.
Через A^v обозначим матрицу (называемую присоединенной к матрице A), элементами которой являются алгебраические дополнения A_{i j}:
A^v = (A_{i j}); ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­
Тогда обратная матрица A ^-1 находится по формуле:

(4)

Для матрицы A третьего порядка (3х3) обратная матрица A ^-1 имеет вид:
.
В типовом расчете рассматриваются матричные уравнения двух типов: X · A = B и A · X = B, где A – квадратная матрица с | A | ≠ 0.
Рассмотрим сначала уравнение X · A = B. Умножим обе части этого уравнения справа на матрицу A ^-1, тогда по определению обратной матрицы уравнение X · A · A ^-1 = B · A ^-1 равносильно уравнению

Если в условии варианта дано уравнение ­ A · X = B, ­ то умножим обе части этого уравнения слева на матрицу A ^-1, тогда уравнение ­ ­ A ^-1 · A · X = A ^-1 · B ­ ­равносильно уравнению

Содержание типового расчета

Заданы квадратная матрица A и прямоугольная матрица B. Решить матричное уравнение вида X · A = B или A · X = B, где X – искомая матрица. Конкретный вид уравнения задан в каждом варианте. Провести поэтапный контроль: расчета обратной матрицы A ^-1 умножением A на A ^-1; найденного решения X подстановкой в исходное уравнение.

Поиск по сайту: