Ускорение точки

Ускорение точки характеризует быстроту изменения вектора скорости в данный момент времени как по модулю, так и по направлению.

Рассмотрим векторный способ задания движения точки. Пусть точка , движущаяся относительно неподвижной системы отсчета, в момент времени занимает положение , а в момент – положение ; скорости точки в этих положениях представлены векторами и (рис. 3).

Перенесем начало вектора в точку и построим параллелограмм, в котором диагональю будет , а одной из сторон – вектор . Другая сторона будет изображать вектор , т. е. приращение вектора за время . Векторная величина называется средним ускорением точки за время , вектор направлен так же, как и вектор .

Ускорением точки в данный момент времени называется вектор , равный пределу, к которому стремится при .

. (16)

Учитывая формулу (6), можно записать

. (17)

Ускорение точки в данный момент времени равно первой производной по времени от вектора скорости точки или второй производной по времени от радиус-вектора точки.

Проведем из какой-либо неподвижной точки векторы , в моменты времени (рис. 3а). Геометрическое место концов этих векторов представляет годограф вектора скорости точки. Среднее ускорение за время направлено по хорде годографа, а ускорение в данный момент времени параллельно касательной к годографу скорости в точке .

Пусть движение точки задается уравнениями (2), то есть координатным способом. Формулу (16) с учетом зависимости (9) можно представить в следующем виде:

. (18)

С другой стороны

(19),

где – проекции вектора ускорения точки на оси координат. Сравнивая (18) и (19) находим

. (20)

Но .

Поэтому получим

. (21)

Следовательно, проекции вектора ускорения точки на неподвижные оси декартовых координат равны первым производным по времени от соответствующих проекций скоростей или вторым производным по времени от соответствующих координат.

Модуль ускорения точки равен

, (22)

а направление вектора точки определяется следующими направляющими косинусами:

. (23)

Поиск по сайту: