АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Канонические уравнения кривых II порядка

Читайте также:
  1. I Классификация кривых второго порядка
  2. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  3. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  4. V2: Применения уравнения Шредингера
  5. V2: Уравнения Максвелла
  6. VI Дифференциальные уравнения
  7. Алгебраические уравнения
  8. Алгоритм составления уравнения химической реакции
  9. Алгоритм цифровой подписи на основе эллиптических кривых ECDSA
  10. Апериодическое звено второго порядка.
  11. Билет 11. Различные уравнения прямой в пространстве. Матрица перехода к новому базису.
  12. Билет 12 Различные уравнения прямой на плоскости, геометрический смысл параметров. Формула преобразования координат вектора при переходе к новому базису

При некотором специальном выборе осей координат уравнение (1) имеет более простые формы.

1. Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Т.к. точки F1, F2 заданы, то известно расстояние |F1F2| = 2c (фокусное расстояние).

 

Для вывода уравнения эллипса выберем ось ОХ проходящей через фокусы, а начало координат – посередине отрезка F1F2.

r1 = |MF1| и r2 = |MF2| - фокальные радиусы точки М.

По определению: r1 + r2 = 2a (2a > 2c).

Но и . Значит: . Это и есть уравнение эллипса. Упростим его:

,

Разделим на а2 – с2: . Из , т.е. а > c и значит, а2 – с2 > 0, поэтому обозначим а2 – с2 = b2. Окончательно:

(1)

Это уравнение эллипса называется каноническим.

 

Исследуем форму кривой по ее каноническому уравнению.

1. Из (1) следует, что эллипс – ограниченная кривая: ; ; , т.е. все точки кривой содержатся в прямоугольнике с основанием 2а и высотой 2b.

2. Если точка М11, у1) k, то и точки М2(-х1, у1); М3(-х1, -у1); М41, -у1) k, т.к. переменные х и у входят в (1) только в квадратах. Т.о., эллипс имеет две оси симметрии – ось ОХ и ось OY и центр симметрии – начало координат.

 

3. Найдем точки пересечения с осями координат:

х = 0 ; у = 0 . Если a > b, то

|A1A2| = 2a – большая ось эллипса; |OA2| = a – большая полуось.

|B1B2| = 2b – малая ось эллипса; |OB2| = b – малая полуось.

4. Точки A1, A2, B1, B2 – вершины эллипса.

5. Для точек I четверти из (1): .

Когда х возрастает от 0 до а, то у уменьшается от b до 0.

Замечание: В частном случае, если b = a = R, то (1) превращается в уравнение окружности: x2 + y2 = R2.

Отношение фокусного расстояния |F1F2| к длине большой оси |A1A2| называется эксцентриситетом. Эксцентриситет характеризует форму эллипса. , , т.к. с< а, то . Фиксируем большую ось а эллипса и будем изменять .

Т.к. b2 = a2 – c2, то , а .

Если , то с уменьшается: , т.е. фокусы сближаются. При этом и эллипс в пределе превращается в окружность.

Если , то и , т.е. эллипс превращается в отрезок прямой.


2. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.

Выберем систему координат так же, как и при выводе уравнения эллипса: ось ОХ проходит через фокусы F1 и F2, а точка О делит расстояние между фокусами пополам:

Обозначим: |F1F2| = 2c, тогда F1(c, 0); F2(-c, 0).

Возьмем произвольную точку на гиперболе M(x, y).

Тогда ; .

По определению гиперболы: r2 – r1 = ±2a.

Знак «+», если r2 > r1, а знак «-», если r2 < r1.

Или

 

Это и есть уравнение гиперболы. Упростим его, избавившись от радикалов:

, , , , .

Разделим на а22 – а2): . Из : |F1F2| = 2c, а r1 – r2 =2a.

По свойствам сторон треугольника: 2c > 2a; c > a: c2 – a2 > 0.

Поэтому обозначим с2 – а2 = b2.

Теперь уравнение гиперболы принимает канонический вид:

(2)

Исследуем это уравнение.

1. В отличие от эллипса, гипербола – неограниченная кривая: . Все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы шириной 2а, а между прямыми х = -а и х = а кривая точек не имеет.

2. Если М11, у1) k, то и точки М2(-х1, у1); М3(-х1, -у1); М41, -у1) k, т.к. координаты х и у входят в уравнение (2) только в четных степенях. Поэтому, как и эллипс, гипербола имеет две оси симметрии – OX и OY и центр симметрии – начало координат.

3. Точки пересечения с осями координат:

, А1(-а, 0), А2(а, 0);

- кривая ось OY не пересекает (мнимая ось).

 

4. |A1A2| = 2a – действительная ось гиперболы; |OA2| = a – полуось;

|B1B2| = 2b – мнимая область; |OB2| = b – мнимая полуось.

5. Точки пересечения главных осей с гиперболой называются вершинами гиперболы. Гипербола имеет две вершины: А1(-а, 0) и А2(а, 0).

6. Для точек I четверти: (). Если х изменяется от а до , то у изменяется от 0 до и точка уходит по кривой в бесконечность.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к длине действительной оси: . Для гиперболы .


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)