АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Вращательное движение твердого тела вокруг оси. Угловая скорость и угловое ускорение

Читайте также:
  1. V – скорость буксировки, м/с.
  2. V – скорость жидкости.
  3. V — скорость судна, м/с.
  4. А) скорость коагуляции
  5. Анализ влияния рекламы на продвижение противопростудных средств
  6. Антигоспитальное в области психиатрии движение в мире во второй половине XX века
  7. Апрельский (1985 г.) пленум ЦК КПСС - курс на «ускорение социально-экономического развития».
  8. Аравия в XVIII — начале XIX в. Ваххабитское движение
  9. Б у дельті Дунаю внаслідок нагромадження твердого річкового стоку
  10. Билет 21. Литературная полемика вокруг руслана и людмилы.
  11. Билет 25. Объединение русских земель вокруг Москвы и становление Московского государства. Иван III. Культура Руси в XIII-XV вв.
  12. Билет 26. Движение декабристов.

Для кинематического описания вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси используются те же величины, что и для описания движения материальной точки по окружности.

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными (рис.9).

Промежуток времени, в течение которого тело совершает один полный оборот вокруг оси, — период вращения. Величина, обратная периоду, — частота вращения.

Проходящая через неподвижные точки А и В прямая АВ называется осью вращения.

Так как расстояния между точками твердого тела должны оста­ваться неизменными, то очевидно, что при вращательном движении все точки, принадлежащие оси вращения, будут неподвижны, а все остальные точки тела будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси.

Для определения положения вращаю­щегося тела проведем через ось вращения, вдоль которой направим ось Az, полуплос­кость - неподвижную и полуплоскость, врезанную в само тело и вращающую­ся вместе с ним (рис. 9).

Рис.9

Тогда поло­жение тела в любой момент времени одно­значно определится взятым с соответствую­щим знаком углом φ между этими полуплоскостями, который назо­вем углом поворота тела. Будем считать угол φположительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси Az), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять угол φ будем всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла φ от времени t, т.е.

φ=f(t).

Уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

При вращательном движении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси углы поворота радиуса-вектора различных точек тела одинаковы.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорение ε.

Если за промежуток времени ∆t=t1-t тело совершает поворот на угол ∆φ=φ1-φ, то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет . В пределе при ∆t→0 найдем, что

или ω= .

Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени. Знак ω определяет направление вращения тела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода часовой стрелки, ω>0, а когда по ходу часовой стрелки, то ω<0.

Размерность угловой скорости 1/Т (т.е. 1/время); в качестве единицы измерения обычно применяют рад/с или, что тоже, 1/с (с-1), так как радиан - величина безразмер­ная.

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , модуль которого равен | | и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис.10). Такой вектор определяет сразу и модуль угло­вой скорости, и ось вращения, и направ­ление вращения вокруг этой оси.

Рис.10

 

Угол поворота и угловая скорость характеризуют движение всего абсолютно твердого тела в целом. Линейная скорость какой-либо точки абсолютно твердого тела пропорциональна расстоянию точки от оси вращения:

При равномерном вращении абсолютно твердого тела углы поворота тела за любые равные промежутки времени одинаковы, тангенциальные ускорения у различных точек тела отсутствуют, а нормальное ускорение точки тела зависит от ее расстояния до оси вращения:

Вектор направлен по радиусу траектории точки к оси вращения.

Угловое ускорение характеризует изменение с те­чением времени угловой скорости тела. Если за промежуток вре­мени ∆t=t1-t угловая скорость тела изменяется на величину ∆ω=ω1-ω, то числовое значение среднего углового ускорения тела за этот промежуток времени будет . В пределе при ∆t→0 найдем,

Таким образом, числовое значение углового ускорения, тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени.

Размерность углового ускорения 1/T2 (1/время2); в качестве единицы измерения обычно применяется рад/с2 или, что то же, 1/с2 (с-2).

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, - замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины ω и ε имеют одинаковые знаки, и замедленным, - когда разные.

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора ε, направленного вдоль оси вращения. При этом

Направление ε совпадает с направлением ω, когда тело вращается ускоренно и (рис.10,а), противоположно ω при замедленном вращении (рис.10,б).

 


 

Кинематика Вращательное движение вокруг неподвижной оси
 

 

Движение твердого тела, при котором две его точки О и О ' остаются неподвижными, называется вращательным движением вокруг неподвижной оси, а неподвижную прямую ОО ' называют осью вращения.
Пусть абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси ОО ' (рис. 2.12).



Рис. 2.12

Проследим за некоторой точкой М этого твердого тела. За время dt точка М совершает элементарное перемещение d r.
При том же самом угле поворота d φ, другая точка, отстоящая от оси на большее или меньшее расстояние, совершает другое перемещение. Следовательно, ни само перемещение некоторой точки твердого тела, ни первая производная , ни вторая производная не могут служить характеристикой движения всего твердого тела.
За это же время dt радиус-вектор , проведенный из точки 0 ' в точку М, повернется на угол d φ. На такой же угол повернется радиус-вектор любой другой точки (т.к. тело абсолютно твердое, в противном случае расстояние между точками должно измениться).
Угол поворота d φ характеризует перемещение всего тела за время dt.
Удобно ввести – вектор элементарного поворота тела, численно равный d φ и направленный вдоль оси вращения ОО ' так, чтобы, глядя вдоль вектора, мы видели вращение по часовой стрелке (направление вектора и направление вращения связаны «правилом буравчика»).
Элементарные повороты удовлетворяют обычному правилу сложения векторов:

Угловой скоростью называется вектор , численно равный первой производной от угла поворота по времени и направленный вдоль оси вращения в направлении ( и всегда направлены в одну сторону).

  . (2.4.1)  

Если ω – const, то имеет место равномерное вращение тела вокруг неподвижной оси.

Пусть v – линейная скорость точки М. За промежуток времени dt точка М проходит путь dr = vdt. В то же время dr = Rd φ (dφ - центральный угол). Тогда, можно получить связь линейной скорости и угловой:

  . (2.4.2)  

В векторной форме .
Вектор ортогонален к векторам и и направлен в ту же сторону, что и векторное произведение .

Наряду с угловой скоростью вращения используют понятия периода и частоты вращения.
Период Т – промежуток времени, в течение которого тело совершает полный оборот (т.е. поворот на угол φ = 2π).
Частота ν – число оборотов тела за 1 секунду.
При вращении с угловой скоростью ω имеем:

, , .

Введем вектор углового ускорения для характеристики неравномерного вращения тела:

  . (2.4.3)  

Вектор направлен в ту же сторону, что и при ускоренном вращении , а направлен в противоположную сторону при замедленном вращении (рис. 2.13).



Рис. 2.13

Как и любая точка твердого тела, точка М имеет нормальную и тангенциальную составляющие ускорения. Выразим нормальное и тангенциальное ускорение точки М через угловую скорость и угловое ускорение:

   
  a τ = R ε; (2.4.4)  
  (2.4.5)  

Обратите внимание. Все кинематические параметры, характеризующие вращательное движение (угловое ускорение, угловая скорость и угол поворота), направлены вдоль оси вращения.
Формулы простейших случаев вращения тела вокруг неподвижной оси:

· равномерное вращение ε = 0; ω = const; φ = φ0 ± ω t,

· равнопеременное вращение .

 


 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)