Лемма 1
Пусть – линейно-независимые решения уравнения (). Коэффициент запишем в виде
, (13)
где непрерывная функция на сегменте , , т. к. на интервале
Пусть решение
(14)
есть непрерывная на сегменте функция. Здесь тоже непрерывная на интервале функция. Тогда второе решение является неограниченным при .
Доказательство.
Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что можно представить в виде квадратуры через другую линейно-независимую функцию в виде
Действительно, Пусть – два линейно-независимых решения данного уравнения, тогда, умножив на и , получим
(a)
. (b)
Вычтя одно уравнение из другого, получим
, или .
Интегрируем: , делим на : ,
,
что и требовалось доказать. В силу линейной независимости, можно положить
Рассмотрим выражение .
Положим . Будем иметь
Легко показать, что
(15)
Функцию можно представить в виде где
Очевидно, при функция ограничена, а функция при либо как , либо как . Лемма доказана 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | Поиск по сайту:
|