П.1. Производящая функция полиномов Лежандра
Одним из способов построения полиномов Лежандра является использование производящей функции которая является аналитической по переменной t, т. е. раскладывается в абсолютно сходящийся степенной ряд по этой переменной. Она хорошо изучена в связи с решением уравнения Лапласа .
Степенной ряд для нее имеет вид
.
Это производящая функция для полиномов Лежандра. Определим их.
Положим в выражении , получим
.
Следовательно, из выражения (1) имеем . Положим , получим , т. е. .
Очевидно, что
.
С другой стороны, из теории аналитических функций известно соотношение
,
где С – замкнутый произвольный контур, охватывающий особую точку .
В интеграле произведём замену переменных
.
Далее получим, возводя в квадрат данное выражение (*),
Отсюда следует, что
Рассмотрим выражение , заменив на .
Получим ,
или окончательно Тогда Поэтому получим, что
, и в силу будем иметь
.
Следовательно,
Здесь – любой контур окружающий особую точку .
Можно показать, что поэтому получим
.
Из курса теории функций комплексной переменной (ТФКП) известно, что
Поэтому будем иметь .
Подставляя это выражение в формулу , получим
.
Это есть формула Родрига для определения полинома Лежандра. Очевидно, что . 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | Поиск по сайту:
|