П.2. Рекуррентные формулы для полиномов Лежандра
Рассмотрим выражение Для производной по переменной имеем
.
Далее для производной по переменной получаем
.
Отсюда следует:
В левую часть соотношения подставим
и .
Имеем в результате
или
.
Раскроем скобки и результат запишем в виде суммы трёх слагаемых.
Приравниваем нулю коэффициенты ряда при одинаковых степенях :
Окончательно получаем:
.
Это и есть искомое рекуррентное соотношение. Получим ещё одно соотношение. Для этого исключим функцию из равенств и . Для этого осуществим операцию . Получаем в результате .
И так как , то получили соотношение
Продифференцируем равенство по переменной x. В результате будем иметь
Воспользовавшись соотношением , получим
или
Осуществим сдвиг индексов :
Это есть второе рекуррентное соотношение. 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | Поиск по сайту:
|