Формулы Грина. Простейшие свойства гармонических функций

Пусть две функции и , обладает свойствами:

1. непрерывны вместе с частными производными 1-го порядка в замкнутой области (ограниченной поверхностью), кроме, может быть, конечного числа точек;

2. интегрируемы вместе с частными производными 1-го порядка везде в области D;

3. имеют интегрируемые в области D частные производные 2-го порядка.

Тогда имеет место быть первая формула Грина

, (1)

точка , а точка , – граница области

оператор имеет вид .

Записав разность , получают вторую формулу Грина

. (2)

Следствие. Пусть, , а – решение уравнения

, (3)

удовлетворяющее свойству 1). Тогда из соотношения (2) получим

. (4)

Определение. Функция u (M) называется гармонической в области D, если она непрерывна в ней и удовлетворяет уравнению Лапласа .

Поиск по сайту: