АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Определение функции Грина для краевой задачи эллиптического типа

Читайте также:
  1. Access. Базы данных. Определение ключей и составление запросов.
  2. F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .
  3. I Психологические принципы, задачи и функции социальной работы
  4. I. 1.1. Пример разработки модели задачи технического контроля
  5. I. 1.2. Общая постановка задачи линейного программирования
  6. I. 2.1. Графический метод решения задачи ЛП
  7. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  8. I. Деньги и их функции.
  9. I. Дифракция Фраунгофера на одной щели и определение ширины щели.
  10. I. ЗАДАЧИ ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ПРАКТИКИ
  11. I. Значение и задачи учета. Основные документы от реализации продукции, работ, услуг.
  12. I. Определение

п.1. Рассмотрим краевую задачу

, (1)

с граничным условием

(2)

Здесь – внешняя нормаль к области D, ограниченной поверхностью S.

Функции , и , а – заданные функции.

Это внутренняя краевая задача. Если область D находится с внешней стороны замкнутой поверхности S, то мы имеем внешнюю краевую задачу. Область D – это непрерывное многообразие.

Суть метода функции Грина.

Сначала ищут решение G (M,P) следующей краевой задачи:

(3)

(Р – некоторая произвольно выбранная, но фиксированная точка области D) с граничным условием (однородным)

. (4)

Искомое решение должно быть непрерывным вместе с частными производными всюду в , кроме, может быть, точки Р, в которой функция G (M,P) имеет особенность. Здесь есть - функция Дирака.

Решение задачи (3)-(4) называют функцией Грина задачи (1)-(2). Единой функции Грина не существует, для каждой задачи своя функция Грина.

Основная теорема.

Если функция Грина найдена, то с ее помощью находится решение u (M) краевой задачи (1)-(2).

Для нахождения функции Грина применим вторую формулу Грина, положив . Будем иметь

Так как , , то

С учетом свойств -

функции получаем, что

,

или

. (5)

Для первой краевой задачи, когда имеем , .

Тогда из формулы (5) следует .

Для второй краевой задачи , , , .

И из формулы (5) получаем .

Для третьей краевой задачи , , , .

Формула (5) дает в этом случае

. (6)

Таким образом, решение находится однозначно.

п.2. Свойство симметрии функции Грина:

Доказывается с помощью второй формулы Грина, если положить

В результате применения второй формулы Грина получается, что

что и требуется доказать.

п.3. Особенность функции Грина.

Рассмотрим только случай, когда k (M) = 1, q (M) = 0.

Уравнение и краевое условие, которым удовлетворяет функция Грина, является линейными

Здесь – оператор граничных условий, Р (М) – произвольная, но фиксированная точка рассматриваемой области D, в которой ищется решение, точка Q принадлежит границе области D. В точке Р (М) функция Грина должна иметь особенность, т. к. присутствует -функция Дирака.

Поскольку уравнение линейное, то решение можно представить в виде суммы двух функций, одна из которых содержит особенность вида , а именно:

где есть гармоническая в области D функция, то есть А функция имеет особенность в точке Р, при и удовлетворяет уравнению

Для определенности рассмотрим трехмерный случай. Пусть – шар радиуса R с центром в точке , а – его сфера. Проинтегрируем уравнение для по области , получим По формуле Остроградского

с учетом того, что будем иметь

Итак, . И так как , то на сфере радиуса R производная т. е. зависит только от R.

И так как на сфере то или Так как R – произвольное значение, то после интегрирования получим

Произвольную постоянную можно «отдать» функции и положить В нашем случае R – расстояние от точки Р до текущей точки М, поэтому функцию Грина можно представить в виде

(7)

Итак, имеем особенность при В двухмерном случае получим

(8)

Функцию определяется из решения краевой задачи

(9)

Для внешних краевых задач функция Грина определяется аналогично и обладает теми же свойствами.

Замечание. Таким образом построенная функция Грина не всегда существует. Так, для второй краевой задачи она не существует. Ибо по построению

(*)

Рассмотрим вторую краевую задачу, граничное условие для которой имеет вид

Отсюда, в силу соотношения (*), имеем на сфере

т. е.

Для гармонической функции должно выполняться условие

(**)

А у нас, например, на сфере:

Необходимое условие гармоничности (**) нарушено.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.)