АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Читайте также:
  1. I I. Тригонометрические уравнения.
  2. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  3. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  4. V2: Применения уравнения Шредингера
  5. V2: Уравнения Максвелла
  6. VI Дифференциальные уравнения
  7. Алгебраические уравнения
  8. Алгебраические уравнения
  9. Алгоритм составления уравнения химической реакции
  10. АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ (13)
  11. Аналитическое решение данного дифференциального уравнения
  12. Аналитическое решение данного дифференциального уравнения

 

Электронный конспект лекций

по дисциплине «Математический анализ» для студентов
специальности 230105 «ПО ВТ и АС»

 

 

Составитель ЭКЛ:
Кацуба В.С. – к.ф.-м.н., доцент,

 

Мурманск, 2008

Оглавление

§1. Определение обыкновенного дифференциального уравнения, его порядка и решений. Дифференциальные уравнения первого порядка: общие определения и их геометрическая трактовка, теорема существования и единственности решения задачи Коши.....................................................................................................................  
§2. Основные методы решения дифференциальных уравнений первого порядка (решение ДУ с разделяющимися переменными, однородные ДУ, линейные ДУ, ДУ Бернулли)..........................................................................................................................  
§3. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка..................................................................................................................................  
§4. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Основные свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений, теорема об общем решении....................................................................................................................  
§5. Нахождение фундаментальной системы частных решений для линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами................  
§6. Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения. Принцип суперпозиции частных решений........................................................  
§7. Метод неопределенных коэффициентов для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами...........................................................................................................................  
§8. Метод вариации произвольных постоянных.................................................................  
§9. Понятие о системах обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение систем методом повышения порядка дифференциальных уравнений.............................  
§10. Понятие об устойчивости решений дифференциальных уравнений и их систем.....  

 

 

§10 не отредактирован.


 

§1.     1.1 Определение обыкновенного дифференциального уравнения, его порядка и решений. Дифференциальные уравнения первого порядка: общие определения и их геометрическая трактовка, теорема существования и единственности решения задачи Коши   Физическая задача, приводящая к понятию дифференциального уравнения

С некоторой высоты брошено тело массой m. Составить уравнение для скорости падения этого тела в любой момент времени от начала падения, если на него, кроме силы тяжести, действует сила сопротивления воздуха, прямо пропорциональная скорости падения.

Решение.

В момент времени составляем уравнение падения тела, используя II закон Ньютона:

, где - масса тела, - ускорение тела, - скорость тела,

- равнодействующая всех сил, приложенных к телу в его центре масс.

Так как все векторы, обозначенные в задаче, являются коллинеарными, то уравнение падения тела можно записать в скалярной форме:

(*)

– это есть уравнение относительно искомой скорости V(t), так как оно выполняется в любой момент времени t.

Такое уравнение называется дифференциальным, так как в него входит производная искомой функции V(t). Решить это дифференциальное уравнение (далее ДУ) – это значит найти функцию V(t), удовлетворяющую ДУ при любом t. Для однозначного определения этой функции нужны еще так называемые начальные условия – это начальная скорость, с которой тело брошено с фиксированной высоты:

, где – момент времени, когда тело брошено,

– число, равное модулю начальной скорости падения.

Если же начальные условия не ставить, то дифференциальному уравнению (*) будет удовлетворять бесконечно много функций

1.2 Общие понятия, связанные с дифференциальными уравнениями
Определение обыкновенного ДУ и его порядка
Обыкновенным дифференциальным уравнениемназывается равенство, выражающее связь между некоторой независимой переменной , неизвестной функцией и ее производными по .
Самый общий вид ДУ: (1)

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной от неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение.

Примеры

1) - ДУ II порядка относительно функции ;

2) - ДУ III порядка относительно функции ;

3) - ДУ III порядка относительно функции ;

4) – ДУ I порядка относительно функции .

Замечания

1. Чтобы уравнение было дифференциальным, в него могут явно не входить , , но обязательно входит хотя бы одна производная функции

2. Обыкновенныедифференциальные уравнения содержат неизвестную функцию, зависящую от одной переменной. Такие и будем рассматривать. Если неизвестная функция зависит от нескольких переменных, то ДУ называют дифференциальным уравнением в частных производных.

Определение решений ДУ
Решением дифференциального уравнения называется любая функция, которая, будучи подставленной в ДУ, обращает его в тождество относительно аргумента. Различают три вида решений ДУ: общее, частное и особое. Общим решением ДУ n-ного порядка называется функция , зависящая от аргумента и произвольных постоянных и удовлетворяющая ДУ при любых значениях этих постоянных. Частным решением ДУ называется его решение, получающееся из общего решения этого ДУ при фиксированных значениях постоянных : . Особым решением ДУ называется такое его решение, которое не может быть получено из его общего решения ни при каких фиксированных значениях произвольных постоянных .

Пример 1

Рассмотрим - ДУ I порядка относительно функции .

Его общим решением является функция ,

так как при подстановке этой функции в ДУ получаем тождественно по и по :

- верно при любых и любых значениях .

Частными решениями рассматриваемого ДУ являются функции:

Особым решением является функция , так как она удовлетворяет ДУ, но не получается из общего решения ни при каком значении .


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)