АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Однородные дифференциальные уравнения I порядка

Читайте также:
  1. I I. Тригонометрические уравнения.
  2. I Классификация кривых второго порядка
  3. II ОБЩИЕ НАЧАЛА ПУБЛИЧНО-ПРАВОВОГО ПОРЯДКА
  4. II. САКРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ: МЕТАФОРА УНИВЕРСАЛЬНОГО ПОРЯДКА
  5. IV.1. Общие начала частной правозащиты и судебного порядка
  6. V2: ДЕ 53 - Способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
  7. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  8. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  9. V2: ДЕ 6 - Линейные отображения. Определители второго порядка
  10. V2: Применения уравнения Шредингера
  11. V2: Уравнения Максвелла
  12. VI Дифференциальные уравнения

 

Определение однородной функции двух переменных
Функция двух переменных называется однородной функцией степени однородности k, если выполняется равенство , где переменная принимает любые значения, кроме 0.

Пример 2

 

1) ­¾ это однородная функция степени однородности, так как ;
2) ¾ это однородная функция степени однородности, так как ;
3) ¾ это однородная функция степени однородности, так как .

 

Однородным дифференциальным уравнением I порядка называется ДУ, имеющее следующий общий вид:

,

где и – однородные функции одинаковой степени однородности.

Каноническая форма однородного ДУ I порядка: (2)

Отличительной особенностью ДУ(2) является то, что его правая часть зависит только от отношения искомой функции y к её аргументу x.

Ниже показан переход от однородного уравнения общего вида к его канонической форме.

 

Суть метода решения однородных ДУ:

при помощи замены однородное ДУ сводится к ДУ с разделяющимися переменными.

Действительно, если заменить , то есть , то .

Подставим эту замену в ДУ(2):

Получили ДУ с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя обе части (с добавлением const), приходим к общему интегралу однородного ДУ:

.

 

Пример 3

Решить однородное ДУ при условии :

Решение

Делим обе части данного уравнения на и этим приводим к его к канонической форме однородного ДУ: .

Подставляем и в ДУ: ;

получили ДУ с разделяющимися переменными относительно функции .

Разделяем переменные и интегрируем обе части с добавлением постоянной:

Выполнив обратную замену , приходим к общему интегралу исходного ДУ:

От общего интеграла переходим к общему решению, разрешая последнее равенство относительно :

Ответ: .


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)