АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Понятие об устойчивости решений дифференциальных уравнений и их систем

Читайте также:
  1. Apгументация как логико-коммуникативный процесс. Понятие научной аргументации.
  2. I Понятие об информационных системах
  3. I. ПОНЯТИЕ ДОКУМЕНТА. ВИДЫ ДОКУМЕНТОВ.
  4. I. Понятие и значение охраны труда
  5. I. Понятие общества.
  6. I. Составление дифференциальных уравнений и определение передаточных функций
  7. I.СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. МЕТОД ГАУССА
  8. II. ОСНОВНОЕ ПОНЯТИЕ ИНФОРМАТИКИ – ИНФОРМАЦИЯ
  9. II. Показатели финансовой устойчивости предприятия.
  10. II. Понятие социального действования
  11. III. Типы экономических систем.
  12. MathCad: понятие массива, создание векторов и матриц.

Во многих прикладных задачах важным является вопрос о поведении решения ДУ или решения системы ДУ при неограниченном изменении аргумента, или при малом изменении начальных условий, или при малых изменениях других параметров уравнения или системы (коэффициенты). Эти вопросы разбираются в так называемой качественной теории ДУ. Одним из основных вопросов качественной теории ДУ является вопрос об устойчивости решения, который был подробно исследован русским математиком А.М. Ляпуновым (1857-1918г.г).

Рассмотрим определение устойчивости по Ляпунову.

 

Определение
(1)
- решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям (2)

Пусть дана система ДУ

Будем называть это решение невозмущенным.

Есть другое решение системы (1): , удовлетворяющее начальным условиям . Будем называть это решение возмущенным.

Решение , удовлетворяющее начальным условиям (2) называется устойчивым по Ляпунову при , если для , сколь малым бы оно ни было, можно указать число такое, что при всех будет , если начальные данные удовлетворяют неравенствам .

 

Это определение устойчивости является самым простым и наглядным. В качественной теории различают определение устойчивости на промежутке, определение асимптотической устойчивости, определение устойчивости в целом.

Смысл данного определения состоит в том, что при малом изменении начальных условий в системе ДУ соответствующее решение этим условиям мало отличается от предыдущего при всех положительных значениях t.

 

Пример 1.

1) Рассмотрим одно ДУ

, так как решение у = 1 получается при с = 0.

Очевидно, что решение у = 1 удовлетворяет начальному условию . Назовем это решение невозмущенным и рассмотрим его устойчивость. Для этого построим возмущенное решение как частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию , где

.

Зададим -- произвольно малое число и составим неравенства

 

так как при , то при неравенство выполняется при , если выполняется число в определении устойчивости решения существует и равно

Таким образом, невозмущенное решение данного ДУ y = 1 является устойчивым при

Пример 2.

Рассмотрим устойчивость решение у = 1. Оно удовлетворяет начальному условию

Возмущенное:

Понятие устойчивости обязательно прорабатывается при численном нахождении частного решения. Приближенное вычисление состоится только в том случае, если искомое частное решение является устойчивым.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)