Пример выполнения курсовой работы по курсу «Прикладная физика. Механика и прочность»

Задача 1. Консольная балка.

Исходные данные:

Нагрузки (по третьей цифре индивидуального задания)

Длины участков балки (по четвертой цифре индивидуального задания)

На схеме балки можно выделить три разных участка. Для того, чтобы не вычислять опорные реакции, рассмотрим балку, начиная с 1-го участка. Записываем уравнение изгибающих моментов и поперечных сил для каждого участка:

Определяем координату экстремума момента на 3-ем участке:

откуда

M max = 50 кНм.

Из условия прочности получаем ограничение на требуемый момент сопротивления сечения:

Номер двутавра, имеющего момент сопротивления, наиболее близкий к требуемому (Wx ≥ 313 см³), определяем по табл. для сортамента прокатной стали. Выбираем двутавр №24а, имеющий момент сопротивления W_х = 317 см³.

Для балки, имеющей сечение в виде двух швеллеров, требуемый момент сопротивления:

Выбираем швеллер №20а, имеющий момент сопротивления Wx =167 см³.

Наибольшие нормальные напряжения в двутавре:

Эпюра нормальных напряжений (эп. σ) для опасного сечения

двутавровой балки показана на рисунке.

Знаки нормальных напряжений в сечении определяем исходя из направления изгибающего момента в этом сечении: поскольку в сечении действует отрицательный момент, в точках сечения, расположенных выше нейтральной линии x, действуют растягивающие напряжения, в точках нижней части сечений – сжимающие напряжения.

Определение прогиба концевого сечения

Для определения прогиба используем интеграл Мора.

Для двутавра № 24а находим из справочника величину осевого момента инерции

В интересующем нас сечении А приложим единичную силу:

Изгибающий момент от единичной силы:

Для данной схемы прогиб концевого сечения запишется как:

Определим допускаемый прогиб:

Т.к. , делаем вывод, что условие жесткости не выполняется.

Задача 2. Балка на двух опорах

Нагрузки (по третьей цифре индивидуального задания)

Длины участков балки (по четвертой цифре индивидуального задания)

Форма и параметры сечения (по пятой цифре индивидуального задания)

Вариант
α = d/D	0,8
β = h/b	2,4
Стандартный профиль

Определение опорных реакций.

На схеме показываем опорные реакции Y_A, Y_D и записываем уравнения равновесия:

Выполняем проверку правильности нахождения реакций. Для этого составляем дополнительно уравнение равновесия, проектируя силы на вертикальную ось:

Уравнение выполняется тождественно (с принятой точностью вычислений). Следовательно, значения реакций найдены верно.

На схеме балки можно выделить три разных участка. Записываем уравнение изгибающих моментов и поперечных сил для каждого участка:

Определяем координату экстремума момента на 1-ом участке:

откуда

Определяем координату экстремума момента на 3-ем участке:

откуда

Согласно эпюре изгибающих моментов в опасном сечении балки действует максимальный изгибающий момент M max = 15,8 кНм.

Определение размеров сечений разной формы.

Из условия прочности получаем ограничение на требуемый момент сопротивления сечения:

Для балки, имеющей сечение в виде двух швеллеров, требуемый момент сопротивления:

Выбираем швеллер №12, имеющий момент сопротивления Wx =50,6 см³. Площадь сечения из швеллеров составляет 26,6 см².

Балка прямоугольного сечения (β = h/b = 2,4)

Откуда

Вычисляем площадь полученного прямоугольного сечения:

Балка сплошного кругового сечения (диаметр сечения D)

Откуда

Площадь полученного кругового поперечного сечения

Балка кольцевого сечения (α = d/D = 0,8).

Откуда

Площадь полученного кольцевого сечения

Сравнение балок по металлоемкости.

Балки выполнены из одного материала и различаются только поперечным сечением. Масса балки

m = ρ ⋅ V = ρ Fl,

где ρ – плотность материала; F – площадь поперечного сечения;

l – длина балки.

Из отношения масс двух балок

следует, что сравнение балок по металлоемкости (массе) можно выполнить, сопоставляя площади поперечных сечений.

Расчетные значения площади поперечного сечения для каждого из рассмотренных вариантов балки сведены в таблицу

Сравнение площадей поперечных сечений

Сечение	Круг	Кольцо	Прямоугольник	Швеллеры
	78,5	40,7	53,1	26,6
	2,95	1,53

Наименьшей материалоемкостью по сравнению с равнопрочными балками другого сечения обладает сечение из швеллеров.

Определение прогибов балки.

Для определения прогибов используем приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

При интегрировании данного уравнения используем метод начальных параметров для упрощения вычислений постоянных интегрирования. Для этого будем соблюдать некоторые правила. Начало координат выберем в крайней левой точке и считаем его постоянным для всех участков балки. Если на каком-либо участке балки действует распределенная нагрузка, ее необходимо продолжить до конца балки и ввести точно такую же компенсационную нагрузку. Если в коком-либо сечении балки действует сосредоточенный момент, то он входит в уравнение изгибающего момента с множителем , где а – расстояние от начала координат до точки приложения момента. Интегрировать дифференциальные уравнения будем без раскрытия скобок. Тогда схема балки и уравнения изгибающих моментов будут выглядеть следующим образом:

Составим дифференциальные уравнения изогнутой оси балки:

Проинтегрировав уравнения, имеем:

Воспользуемся граничными условиями:

При при

Приравняв поочередно правые части первого и второго, а затем второго и третьего уравнений, увидим, что

Проинтегрировав уравнения дважды, имеем:

Воспользуемся граничными условиями:

При при

Приравняв поочередно правые части первого и второго, а затем второго и третьего уравнений, увидим, что

Теперь воспользуемся граничными условиями:

При при

Подставив первое граничное условие в первое уравнение, получим, что

Подставив второе граничное условие в третье уравнение, получим:

Подставив в полученное уравнение исходные данные, вычисляем:

Для вычисления прогибов для швеллера № 12 находим из справочника величину осевого момента инерции Для всего сечения осевой момент инерции

Из полученного графика прогибов видно, что максимальный прогиб находится на участке ВС. Его положение найдем из условия Решая уравнение: получим

Максимальный прогиб тогда будет равен:

Знак минус означает, что прогиб направлен вниз

Определим допускаемый прогиб:

Т.к. , делаем вывод, что условие жесткости не выполняется

Задача 3. Статически неопределимая рама

Размеры участков рамы (по седьмой цифре индивидуального задания)

Нагрузки (по восьмой цифре индивидуального задания)

На рис. а показана исходная система, которая является один раз статически неопределимой. Удаляем лишнюю связь, т. е. исходную систему превращаем в статически определимую, которая называется основной системой (рис. б). Нагружаем основную систему заданной нагрузкой и неизвестной реакцией Х, заменяющей удаленную связь и получаем эквивалентную систему (рис. в).

Поскольку рама один раз статически неопределима, составляем одно каноническое уравнение

Для решения канонического уравнения строим эпюру изгибающих моментов только от внешней нагрузки.

Определение опорных реакций.

На схеме показываем опорные реакции Y_A, Y_В, Х_А и записываем уравнения равновесия:

Выполняем проверку правильности нахождения реакций. Для этого составляем дополнительно уравнение равновесия, проектируя силы на вертикальную ось:

Уравнение выполняется тождественно (с принятой точностью вычислений). Следовательно, значения реакций найдены верно.

На схеме рамы можно выделить пять разных участков. Записываем уравнение изгибающих моментов для каждого участка:

И строим эпюру изгибающих моментов со стороны «сжатого» волокна (рис.).

Затем строим эпюру изгибающих моментов от единичной силы.

Определение опорных реакций.

На схеме показываем опорные реакции и записываем уравнения равновесия:

Выполняем проверку правильности нахождения реакций. Для этого составляем дополнительно уравнение равновесия, проектируя силы на вертикальную ось:

Уравнение выполняется тождественно (с принятой точностью вычислений). Следовательно, значения реакций найдены верно.

На схеме рамы можно выделить три разных участка. Записываем уравнение изгибающих моментов для каждого участка:

И строим эпюру изгибающих моментов со стороны «сжатого» волокна (рис.).

Коэффициенты, входящие в каноническое уравнение, определяются с помощью интеграла Мора.

Для данной схемы:

Подставляем найденные коэффициенты в каноническое уравнение:

Определив неизвестную реакцию отброшенной связи, строи эпюры продольных сил N, поперечных сил Q, изгибающих моментов М.

Определение опорных реакций.

На схеме показываем опорные реакции Y_A, Y_В, Х_А и записываем уравнения равновесия (рис. а):

Выполняем проверку правильности нахождения реакций. Для этого составляем дополнительно уравнение равновесия, проектируя силы на вертикальную ось:

Уравнение выполняется тождественно (с принятой точностью вычислений). Следовательно, значения реакций найдены верно.

На схеме рамы можно выделить пять разных участков. Записываем уравнения внутренних силовых факторов для каждого участка.

Для продольных сил N и строим эпюру продольных сил (рис. б).

Для поперечных сил Q и строим эпюру поперечных сил (рис. в).

Для изгибающих моментов М:

И строим эпюру изгибающих моментов со стороны «сжатого» волокна (рис. г).

Поиск по сайту: