АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Уравнение прямой линии на плоскости

Читайте также:
  1. E) Для фиксированного предложения денег количественное уравнение отражает прямую взаимосвязь между уровнем цен Р и выпуском продукции Y.
  2. I. Расчет производительности технологической линии
  3. IV. УРАВНЕНИЕ ГАМЛЕТА
  4. V. Множественные волнообразные линии
  5. V2: Волны. Уравнение волны
  6. V2: Уравнение Шредингера
  7. А — одностороннее боковое освещение; б — двустороннее боковое освещение; в — верхнее освещение; г — комбинированное освещение: 1 — уровень рабочей плоскости
  8. Автоматизированные линии производства длинных изделий
  9. Автоматизированные линии производства коротких макаронных изделий
  10. Адиабатический процесс. Уравнение адиабаты (Пуассона). Коэффициент Пуассона.
  11. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА
  12. Алгоритм укладки графа на плоскости

1°. Векторное, параметрическое, общее и каноническое уравнение прямой в произвольной аффинной системе координат.

Фиксируем на плоскости аффинную систему координат, определяемую началом координат и базисными векторами . Тогда " точка плоскости определяется координатами .

Пусть прямая линия лежит в плоскости и проходит через точку параллельно вектору .

 


M

       
 
M0
 
   
O

 

 


 

Рис.1. Прямая , проходящая через точку

параллельно вектору .

 

Определение 1. Всякий ненулевойвектор , параллельный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой.

Если точка плоскости лежит на прямой, то вектор коллинеарен . Значим, R такое, что

. (1)

С другой стороны, всякая точка М, для которой выполнено уравнение (1), принадлежит прямой в силу определения произведения вектора на число.

Таким образом, условие М выполнению уравнения (1). Уравнение (1) называется векторным уравнением прямой.

Если обозначить радиус вектора точек через и соответственно, то и уравнение (1) принимает вид:

, (2)

которое также называется векторным уравнением прямой.

Если , то (2) в координатах принимает вид

(3)

параметрическое уравнение прямой на плоскости, проходящей через точку в направлении вектора .

Исключая из уравнения (3) параметр t,получаем

(4)

каноническое уравнение прямой на плоскости.

Уравнение (4) понимается как пропорцию. Тогда, если, например, , то прямая параллельна оси Oy и проходит через точку .

Приведем уравнение (4) к общему знаменателю:

.

Если обозначить , то получим:

(5)

общее уравнение прямой на плоскости.

Так как , то хотя бы один из коэффициентов А или В отличен от нуля ⇒ уравнение (5) представляет собой уравнение первого порядка. Таком образом, показано, что любая прямая является алгебраической линией первого порядка.

Верно и обратное: любая алгебраическая линия первого порядка на плоскости является прямой.

Действительно, уравнение (5) является линейным неоднородным уравнением, и в силу теории решения СЛНУ его общее решение имеет вид

где – частное решение уравнения (5) (например, при , частного решения можно выбрать вида , ), – фундаментальное решение соответствующего однородного уравнения. Сравнивая общее решение уравнения (5) с (3), представляющим собой параметрическое уравнение прямой на плоскости, можно видеть, что множество всех решений уравнения (5) представляет собой прямую, проходящую через точку и имеющей направляющий вектор .

Таким образом доказана следующая теорема.

Теорема 1. Прямые на плоскости – алгебраические линии первого порядка.

Из доказательства теоремы 1 следует, что если – уравнение прямой, то вектор является направляющим вектором этой прямой.

Если , то из уравнения (5) получаем:

,

т.е.

, где .

Отметим, что в произвольной декартовой системе координат коэффициент не играет роль углового коэффициента (т.е. не равен тангенсу угла наклона прямой к оси ). Например, на рис. 2 прямая имеет уравнение (или в каноническом виде ) и перпендикулярна оси

 

l
y
L

 

           
 
 
   
     
x
 

 


 

Рис.2. Прямая в системе координат имеет уравнение .

 

Из канонического уравнения (4) легко выводится уравнение прямой, проходящей через 2 точки. А именно, если прямая l проходит через две точки и , то вектор можно выбрать в качестве направляющего вектора прямой. Тогда уравнение (4) принимает вид

, (6)

который называется уравнением прямой, проходящей через точки и .

Рассмотрим некоторые частные случаи общего уравнения прямой (5)..

1. Если А=0, то прямая параллельна оси .

2. Если B=0, то прямая параллельна оси .

3. Если C=0, то прямая проходит через начало координат.

4. Если A=C=0, то прямая совпадает с осью .

5. Если B=C=0, то прямая совпадает с осью .

6. Если , то уравнение (5) после деления на можно переписать в виде

,  

который называется уравнением прямой в отрезках. Здесь и равны отрезкам, отсекаемым прямой на координатных осях.

2°. Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости.

Пусть на плоскости задана аффинная система координат .

Утверждение 1. Для того чтобы прямые и , задаваемые соответственно уравнениями

, (7)

и

, (8)

совпадали, необходимо и достаточно, чтобы


1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.008 сек.)