Теоретические сведения. Матрицы и действия над ними

Лабораторная работа 4

Матрицы и действия над ними.

Решение систем уравнений

Ц е л ь р а б о т ы: выполнение действий над матрицами с помощью функций Mathcad и решение систем уравнений.

Теоретические сведения

Самый простой способ создания массива чисел состоит в создании массива из пустых полей и в их последующем заполнении.

Для этого необходимо выполнить следующие действия:

1) выбрать команду Матрицы из меню Математика для вызова диалогового окна;

2) определить в диалоговом окне нужное количество строк и столбцов матрицы;

3) нажать кнопку «OK», чтобы создать массив пустых полей.

Для ввода требуемого значения необходимо выделить соответствующее поле. Для перемещения между полями можно также использовать клавишу «Tab».

При определении больших массивов, каждый элемент которых определяется некоторой формулой, удобнее использовать дискретные аргументы.

При использовании элементов массивов следует помнить о том, что в скобках всегда указывается сначала номер строки, а затем - номер столбца. Кроме того, значения индексов элементов массивов в Mathcad начинаются с нуля - Х_{0, 0}.

Пример1. Вызов полей массива М размером 4 ´ 3 для заполнения.

4.1.1. Действия над матрицами

4.1.1.1. Для объединения двух массивов «бок о бок» (имеющих размеры m·n и m·p) применяется функция augment. При этом образуется массив размером m·(n + p).

Пример 2. Объединить массив M и вектор v при помощи функции augment.

Решение:

4.1.1.2. Для объединения двух массивов «друг над другом» (имеющих размеры m·n и p·n) используется функция stack. При этом образуется массив размеров (m + p)·n.

Пример 3. Объединить массив M и вектор v при помощи функции stack(M, v).

Решение:

4.1.1.3. Вставка или удаление столбцов (строк) матрицы. Вставить или удалить столбцы (строки) можно через опцию меню Математика и Матрицы.

Cоставляющие элементы панели Матрицы приведены на рис. 1:

а - панель Матрица;

б - кнопки «Матрица или вектор», «Нижний индекс», «Обращение», «Определитель» соответственно;

в - «Векторизация», «Выделить столбец», «Транспонирование» соответственно.

а б в

Риc. 1. Панель Матрица и ее опции

Для вставки одного или нескольких столбцов нужно выполнить следующие действия:

1) установить курсор на элементе столбца, правее которого следует добавить новые столбцы;

2) вызвать диалоговое окно (рис. 2);

3) определить число вставляемых столбцов;

4) нажать кнопку «Вставить».

Система Mathcad вставит новые столбцы справа от столбца, содержащего выделенный элемент.

Для удаления одного или нескольких столбцов нужно выполнить следующие действия:

1) установить курсор на первом элементе удаляемого столбца;

2) вызвать диалоговое окно (рис. 2);

3) определить число удаляемых столбцов;

4) нажать кнопку «Удалить».

Система Mathcad удалит столбец, содержащий выделенный элемент, и число столбцов (n–1) справа от него, здесь n - заданное в диалоговом окне число столбцов.

Рис. 2. Диалоговое окно Вставить матрицу

4.1.1.4. Обращение матрицы, транспонирование, вычисление опре-делителя.

Для обращения квадратной матрицы нажать соответствующую кнопку на панели Матрица - «М^-1».

Ввод квадратной вещественной матрицы и ее обращение:

Транспонирование матрицы и вычисление определителя матрицы можно выполнить с помощью кнопок «М^Т» и «│М│» соответственно:

При записи функций max(M) и min(M) автоматически определяются максимальный и минимальный элементы матрицы.

Операции по вычислению собственных векторов и собственных значений матрицы выполняются с помощью функций eigenvecs(M) и eigenvals(M):

Поэлементное умножение матриц с использованием векторизации

или:

Выбор отдельного столбца матрицы с помощью соответствующей кнопки:

4.1.2. Решение матричных2 уравнений

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х₁, х₂, …, х_n:

(7)

В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричном виде:

где

.

(9)

Матрица А, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками – коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении, называется матрицей системы; матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, - матрицей правой части или правой частью системы. Матрица-столбец х, элементы которой искомые неизвестные, называется решением системы.

Если матрица А неособенная, т. е. det A ¹ 0, то система (7) или эквивалентное ей матричное уравнение (8), имеет единственное решение.

В самом деле, при условии det A ¹ 0 существует обратная матрица А ^-1. Умножая обе части уравнения (8) на матрицу А^-1, получим:

(10)

Формула (10) дает решение уравнения (8) и оно единственно.

Системы линейных уравнений удобно решать с помощью функции lsolve (А, b). Функция возвращает вектор решения x такой, что Ах = b. Аргументами функции являются:

А – квадратная, не сингулярная матрица;

b – вектор, имеющий столько же рядов, сколько рядов в матрице А.

Решение системы трех линейных уравнений относительно трех неизвестных матричным способом показано на рис. 3.

Рис. 3. Решение системы уравнений матричным способом

Рассмотрим решение системы уравнений с помощью операторов Mathcad.

Система Mathcad дает возможность решения систем уравнений с помощью операторов Given-Find. Результатом решения системы является численное значение искомого корня. Уравнения решаются при помощи итерационных методов. На основе начального приближения строится последовательность, сходящаяся к искомому решению.

Для решения системы уравнений с помощью операторов Given-Find необходимо выполнить следующее:

1) задать начальные приближения всех неизвестных, входящих в систему;

2) ввести оператор Given, который указывает на то, что далее следует система уравнений (оператор Given нельзя использовать в текстовой области);

3) ввести уравнения в любом порядке после ключевого слова Given (между левой и правой частями уравнения должно быть установлено булево равенство [CTRL + =]);

4) ввести любое имя переменной, которой присвоить функцию Find.

Оператор Given, переменная с функцией Find, а также уравнения, заключенные между ними, называются блоком решения уравнений.

Особенности применения функции Find:

если функция имеет один аргумент (Find (x)), то она возвращает решение уравнения, расположенного в блоке Given-Find;

если функция имеет более одного аргумента (Find (x1, х2,...)), то она возвращает вектор, значения которого являются решением системы уравнений.

П р и м е р 4. Решить уравнение с одним неизвестным: x² + 10 = e^x.

Решение с использованием блока Given-Find представлено на рис. 4.

Рис. 4. Решение уравнения с использованием блока Given-Find

Для решения этого уравнения можно также использовать функцию root:

a = root(x² + 10 - e^x, x).

Пример 5.Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными.

Решение представлено на рис. 5.

Рис. 5. Решение системы уравнений

Поиск по сайту: