АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Решение систем линейных уравнений. Системой линейных уравнений с тремя неизвестными называется система вида:

Читайте также:
  1. A) к любой экономической системе
  2. A) прогрессивная система налогообложения.
  3. C) Систематическими
  4. CASE-технология создания информационных систем
  5. ERP и CRM система OpenERP
  6. HMI/SCADA – создание графического интерфейса в SCADА-системе Trace Mode 6 (часть 1).
  7. I Понятие об информационных системах
  8. I СИСТЕМА, ИСТОЧНИКИ, ИСТОРИЧЕСКАЯ ТРАДИЦИЯ РИМСКОГО ПРАВА
  9. I. Основні риси політичної системи України
  10. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (ТЕРМИНЫ) ЭКОЛОГИИ. ЕЕ СИСТЕМНОСТЬ
  11. I. ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К СИСТЕМАМ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ
  12. I. Решение логических задач средствами алгебры логики

Системой линейных уравнений с тремя неизвестными называется система вида:

Решить систему (1) – значит найти такие значения (x, y, z), при подстановке которых в систему уравнения становятся верными тождествами. Для решения таких систем существует много способов. Рассмотрим три основных: метод Гаусса, метод Крамера, метод обратной матрицы.

Метод Гаусса

Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система приводится к так называемому "треугольному виду". К элементарным преобразованиям относятся:

· умножение строки на любое число;

· прибавление к одной строке другой строки или суммы нескольких строк;

· умножение строки на любое число и прибавление к другой строке, также умноженной на любое число.

После приведения системы к "треугольному виду" появляется возможность найти значение переменной z из последнего уравнения, затем оно подставляется во второе уравнение и находится значение y. Полученные значения z и y подставляются в первое уравнение, откуда находится x.

Вычисления лучше производить с коэффициентами системы, записанными в форме таблицы, которая называется расширенной матрицей системы:

В результате преобразований должна получиться матрица вида:

 

Возвращаясь к интерпретации каждой строки матрицы как коэффициентов уравнения, можно записать:

C3z=D3, откуда z=C3/D3;

B2y+C2z=D2, откуда y=(D2-C2z)/B2;

a1x+b1y+c1z=d1, откуда x=(d1-b1y-c1z)/a1.

 

Таким образом, получили решение системы (1): (x,y,z).

 

Пример 1. Решить систему уравнений методом Гаусса:

Составим матрицу системы:

Умножим первую строку на (-3) и прибавим ко второй строке, записывая сумму на месте второй строки:

Умножим первую строку на (-9) и прибавим к третьей строке, записывая сумму на месте третьей строки:

Умножим вторую строку на (-4), а третью строку на 7 и сложим их, записывая сумму на месте третьей строки:

Из третьей строки имеем:

11z=22, откуда z=2.

Из второй строки имеем:

7y-15z=-16, откуда y=(-16+15z)/7, подставим z=2: y=(-16+30)/7=14/7=2.

Из первой строки находим x:

x-2y+3z=3, откуда x=3+2y-3z, подставляем z=2, y=2: x=3+4-6=1.

 

Ответ x=1, y=2, z=2.


1 | 2 | 3 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)