АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Задача колебаний круглой мембраны. Диференциальные уравнения Бесселя. Функции Бесселя и их свойства

Читайте также:
  1. F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .
  2. I I. Тригонометрические уравнения.
  3. I Психологические принципы, задачи и функции социальной работы
  4. I. 3.1. Двойственная задача линейного программирования
  5. I. Деньги и их функции.
  6. I. Функции
  7. I. Функции эндоплазматической сети.
  8. II. Основные задачи и функции
  9. II. Основные задачи и функции
  10. II. Функции плазмолеммы
  11. II.2. Задача о назначениях
  12. II.4. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ В ЗАДАЧАХ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

U(x,y,t)-отклонение от положения равновесия. Колебания описываются функцией U.

Будем считать, что наша задача подчиняются волновому уравнению.

Задача обладает сферической симметрией, поэтому удобно работать в полярных координатах

U(r,φ)|r=a=0 – мембрана закрепленная по периметру.

U|t=0=f(r,φ) Ut|t=0=g(r,φ)

Решаем задачу разделения переменных

U(r,φ,t)= U (r,φ)T(t)

 

T=A cos(λct)+Bsin(λct)

Т.к. 2-е уравнение содержит 2 переменные, то

U (r,φ)=R(r)Ф(φ)

Получим

Ф(2)+p2Ф=0 Ф=Сcos(pφ)+Dsin(pφ)

r2R(2)+rR/+(r2λ2-p2)R=0

физически 0≤φ≤2π

Функция периодична при целом P

Фn=Cncos(nφ)+Dnsin(nφ)

U|r=a=R(a)T(t)Ф(φ)=0

R(a)=0

r2R(2)+rR/+(r2λ2-n2)R=0 – уравнение Бесселя с начальным условием

R(r)=G1In(λr)+ G2In(λr)

G2=0 ввиду конечности решения

In(λа)=0 Inm(n))

λnm=am(n)/a

Окончательно

U(r,φ,t)=ΣCn,mInn,mr)exp(in φ +I λ t)

Уравнение Бесселя имеет вид

x2y(2)+xy/+(x2-v2)y=0, где v – параметр задачи(может быть конечным).Решение этого дифференциального уравнения имеет вид

y=C1Yv(x)+ C2Vv(x)


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)