Метод итераций

Пусть задана функция f(х), требуется найти корни уравнения

f(х) = 0. (2)

Метод простых итераций (последовательных приближений) является наиболее общим, и многие другие методы можно пред­ставить как некоторую вариацию метода простых итераций.

Представим уравнение (2) в виде

. (3)

Это можно сделать, например, прибавив х к обеим частям уравнения (3).

Рассмотрим последовательность чисел x_i, которая определяется следующим образом:

x₀ принадлежит [ а; b ].

Метод простых итераций имеет следующую наглядную геометрическую интерпретацию (рисунок 6). Решением уравне­ния (3) будет абсцисса точки пересечения прямой у = х с кри­вой у = >(х). При выполнении итераций значение функции (х) в точке x_i необходимо отложить по оси абсцисс. Это можно сделать, если провести горизонталь до пересечения с прямой у = х и из точки их пересечения опустить перпендикуляр на ось абсцисс. На рис. 6 показаны разные ситуации: а) сходимость к корню односторонняя; б) сходимость с разных сторон.

Рисунок 6 - Приближение к корню методом простой итерации

Сходимость процесса приближения к корню в значительной степени определяется видом зависимости (x). На рисунке 7 показан расходящийся процесс, при котором метод простой итера­ции не находит решения уравнения.

Рисунок 7 - Расходящийся процесс в методе простой итерации

На рисунке 6 сходимость обеспечивается для медленно изме­няющихся функций у(х), для которых выполняется условие

На рисунке 7 расходящийся процесс наблюдается для более быстро меняющейся функции |\|/'(х)| > 1.

Можно сделать вывод, что для обеспечения сходимости метода простой итерации необходимо выполнить условие

На практике в качестве рассматриваемой окрестности ис­пользуют интервал [ а; b ], а условие сходимости итерационного процесса имеет вид:

Для сходящегося итерационного процесса характерно сле­дующее: при решении задачи переменная последовательно стре­мится к некоторому искомому пределу. Так как итерационный процесс представляет собой последовательность повторяющихся вычислительных процедур, то он, естественно, описывается цик­лическими алгоритмами. Особенность итерационного цикла за­ключается в том, что неизвестен закон изменения рекуррентной величины, выбранной в качестве параметра цикла, и неизвестно число повторений цикла. При этом значение, полученное на n -й итерации, является исходным для следующей (п+ 1)-й итерации (рисунок 8).

Процесс итераций продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений х_n+1 и х_n не будет обеспечено вы­полнение неравенства

где — точность вычислений.

Рис. 8. Метод простой итерации

Пример 7. Методом итераций уточнить с точностью до 10^-4 корень уравнения , заключенный на отрезке [0; 1].

Поиск по сайту: