АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Тригонометрические уравнения

Читайте также:
  1. I I. Тригонометрические уравнения.
  2. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  3. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  4. V2: Применения уравнения Шредингера
  5. V2: Уравнения Максвелла
  6. VI Дифференциальные уравнения
  7. Алгебраические уравнения
  8. Алгебраические уравнения
  9. Алгоритм составления уравнения химической реакции
  10. АНАЛИЗ УРАВНЕНИЯ (13)
  11. Аналитическое решение данного дифференциального уравнения
  12. Аналитическое решение данного дифференциального уравнения

Найдём условие, при котором будут равны синусы двух углов. Пусть sin a = sin b. Тогда sin a – sin b = 0, и по известной формуле разности синусов имеем

Значит, либо то есть либо то есть Итак, sin a = sin b тогда и только тогда, когда либо a – b = 2πn, либо a + b = (2n + 1)π,

Рассмотрим решение простейшего уравнения sin x = a. Если |a| > 1, то решений нет, если |a| ≤ 1, то в силу периодичности синуса решений будет бесконечно много. По определению обратных тригонометрических функций, одно из решений − это arcsin a. Следовательно, наше уравнение можно переписать в виде sin x = sin (arcsin a). Тогда либо x – arcsin a = 2πn, либо x + arcsin a = 2(n + 1)π, Оба эти равенства могут быть объединены в одно:

Это равенство называется формулой общего решения уравнения sin x = a, |a| ≤ 1.

Аналогично можно показать, что формула общего решения уравнения cos x = a при |a| ≤ 1 имеет вид

Формула общего решения уравнения tg x = a при любом действительном a имеет вид

x = arctg a + πn,

Формула общего решения уравнения ctg x = a при любом действительном a имеет вид

x = arcctg a + πn,

Рассмотренные уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Пример 1

Решите уравнение sin 2x = cos 3x.

Решение

Воспользуемся формулой приведения получаем

По формуле разности синусов имеем

Следовательно, либо то есть либо то есть

Ответ.

 

Пример 2

Решите уравнение sin x – 2 cos x = 0.

Решение

Преобразуем уравнение sin x = 2 cos x. Рассмотрим те x, для которых cos x = 0. Для этих x sin x = ±1. Следовательно, эти x не являются корнями исходного уравнения, так как при их подстановке получается неверное числовое равенство 0 = ±1. Значит, cos x ≠ 0. Разделим обе части уравнения на cos x ≠ 0, имеем tg x = 2, x = arctg 2 + πn, Ответ. x = arctg 2 + πn,

 

Пример 3

Решите уравнение sin2 x – 6 sin x cos x + 5 cos2 x = 0.

Решение

Те значения переменной x, для которых cos x = 0, не являются решениями, в чём можно убедиться непосредственной подстановкой. Разделим обе части уравнения на cos2 x, получим
tg2x – 6 tg x + 5 = 0.

Это уравнение является квадратным относительно переменной t = tg x:

t2 – 6t + 5 = 0.

Корни этого уравнения: и Уравнение имеет решения Уравнение tg x = 5 имеет решения

Ответ.

 

Только что рассмотренные уравнения называются однородными уравнениями соответственно 1-го и 2-го порядка. Вспомним определение многочлена n-ной степени, данное в § 2.1.1. Однородным многочленом n-ного порядка относительно переменных u и v называется многочлен, у которого сумма степеней переменных постоянна у всех членов.

Аналогично, уравнения au + bu = 0 и au2 + bvu + cv2 = 0 также называются однородными уравнениями 1-го и 2-го порядка. В нашем случае было u = sin x и v = cos x.

Уравнение 1-го порядка делением на v сводится к линейному относительно новой переменной Уравнения 2-го порядка делением на сводятся к квадратному относительно

Уравнения с обратными тригонометрическими функциями, как правило, удаётся решить, применяя одну и ту же тригонометрическую функцию к обеим частям данного уравнения.

Пример 4

Решите уравнение arccos x = arctg x.

Решение

Применим функцию косинус к обеим частям данного уравнения. Имеем Так как область определения данного уравнения − множество то:

 

Значит, x > 0. Решаем полученное иррациональное уравнение:

Так как x > 0, то

Ответ.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)