Замечание. В условии задачи ничего не сказано об интервале, на котором требуется найти общее решение дифференциального уравнения

В условии задачи ничего не сказано об интервале, на котором требуется найти общее решение дифференциального уравнения. В таких случаях решение проводится для всех значений аргумента x, при которых исходное дифференциальное уравнение и его решения имеют смысл. Для данного примера дифференциальное уравнение имеет смысл при .

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными или .

Дифференциальные уравнения вида или могут быть сведены к ОДУ с разделяющимися переменными, если произвести замену или , где z – функция аргумента x.

Если , то и по правилу дифференцирвания дроби . В этом случае уравнения примут вид или .

Если принять , то y = x ⋅ z и по правилу производной произведения . В этому случае уравнения сведутся к или .

Пример.

Решите дифференциальное уравнение .

Решение.

Примем , тогда . Подставим в исходное уравнение:

Получили уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем его.

После обратной замены получаем общее решение исходного дифференциального уравнения в виде неявно заданной функции .

Следует остановиться на дифференциальных уравнениях вида
.

Делением числителя и знаменателя правой части на yⁿ или xⁿ такие дифференциальные уравнения приводятся к виду или .

Пример.

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

В этом примере x и y отличны от нуля. Разделим и числитель и знаменатель правой части равенства на x²:

Введем новую переменную , тогда .

Подставляем в исходное уравнение

Получили дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Решаем его

В этом примере можно получить решение и в явном виде. Для этого примем и воспользуемся свойствами логарифма:

Осталось сделать обратную замену y = x ⋅ z и записать ответ . Это общее решение дифференциального уравнения.

Замечание: это уравнение (как и другие подобного типа) можно решить и используя замену .

Опишем решение для этой замены.

Разделим и числитель и знаменатель на y²:

Пусть , тогда .

Подставляем все в исходное уравнение и получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными . После разделения переменных приходим к равенству . Интегрируем его

Возьмем сначала интеграл . После разложения на простейшие дробиподынтегральной функции интеграл примет вид . Теперь проведеминтегрирование простейших дробей:

Теперь найдем интеграл :

В итоге имеем или , где .

После проведения обратной замены и некоторых преобразований придем к тому же результату .

Сделаем вывод. В этом примере при замене решение оказалось более трудоемким, чем при замене . Для себя можно отметить, что если решение дифференциального уравнения или оказывается сложным при выбранной замене , то можно попробовать ввести другую переменную, то есть .

Дифференциальные уравнения, сводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения можно свести к уравнениям или , следовательно, к уравнениям с разделяющимися переменными. Для этого находится (x₀, y₀) - решение системы двух линейных однородных уравнений и вводятся новые переменные . После такой замены уравнение примет вид .

Разберемся на примере.

Пример.

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение.

Составляем и решаем систему линейных уравнений

Делаем замену переменных

После подстановки в исходное уравнение получаем . После деления на u числителя и знаменателя правой части имеем .

Вводим новую переменную , тогда

Возвращаемся к исходным переменным, производя обратную замену :

Это есть общее решение дифференциального уравнения.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка .

В качестве примеров линейных неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка можно привести .

Для решения ЛНДУ используют метод вариации произвольной постоянной. Также существует метод, основанный на представлении искомой функции y в виде произведения: y(x) = u(x)v(x).

Поиск по сайту: