АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Читайте также:
  1. A) линейные
  2. I I. Тригонометрические уравнения.
  3. I Классификация кривых второго порядка
  4. V2: ДЕ 11 - Векторные пространства. Линейные операции над векторами
  5. V2: ДЕ 4 – Линейные отображения. Линейные операции над матрицами
  6. V2: ДЕ 5 - Линейные отображения. Умножение матриц
  7. V2: ДЕ 54 - Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
  8. V2: ДЕ 57 - Фундаментальная система решений линейного однородного дифференциального уравнения
  9. V2: ДЕ 6 - Линейные отображения. Определители второго порядка
  10. V2: Применения уравнения Шредингера
  11. V2: Уравнения Максвелла
  12. VI Дифференциальные уравнения

В этой статье рассмотрим основные принципы нахождения общего решения линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка, и подробно разберем решения нескольких примеров.

Для начала рекомендуем вспомнить основные определения и понятия теории дифференциальных уравнений.

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид , а неоднородное , где функции f(x), p(x) и q(x) - непрерывны на интервале интегрирования X. В частном случае, когда функции p(x) = p и q(x) = q есть постоянные, нахождение общего решения описано в разделахлинейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

В каком же виде ищется общее решение ЛОДУ и ЛНДУ второго порядка? Сформулируем две теоремы, которые отвечают на этот вопрос.

Теорема.

Общим решением y0 линейного однородного дифференциального уравнения на интервале X с непрерывными коэффициентами на X является линейная комбинация n линейно независимых частных решений ЛОДУ с произвольными постоянными коэффициентами , то есть .

Теорема.

Общее решение y линейного неоднородного дифференциального уравнения на интервале X с непрерывными на том же промежутке X коэффициентами и функцией f(x) представляет собой сумму , где y0 - общее решение соответствующего ЛОДУ , а - какое-нибудь частное решение исходного ЛНДУ.

Таким образом,

· y0=C1⋅y1+C2⋅y2 - общее решение дифференциального уравнения , где y1 и y2 – его линейно независимые частные решения,

· а - общее решение уравнения , где - любое из его частных решений, а y0 - общее решение соответствующего ЛОДУ.

Осталось научиться находить y1, y2 и .

В самых простых случаях эти функции подбираются.

Линейно независимые функции y1 и y2 наиболее часто находятся среди наборов

Линейная независимость функций y1 и y2 проверяется с помощью определителя Вронского . Если функции линейно независимы на интервале X, то определитель Вронского отличен от нуля для любого x из промежутка X.

К примеру, функции y1 = 1 и y2 = x линейно независимы для любого действительного значения x, так как .

Функции y1 = sinx и y2 = cosx также линейно независимы на R, так как

А вот функции y1 = - x - 1 и y2 = x + 1 линейно зависимы на интервале (-∞; +∞), так как

В общем случае подбор y1, y2 и труден и далеко не всегда возможен.

Если получится подобрать нетривиальное (ненулевое) частное решение y1 ЛОДУ второго порядка , то его общее решение можно отыскать, понизив степень уравнения до первой с помощью подстановки .

Рассмотрим пример.

Пример.

Найдите общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка .

Решение.

Несложно заметить, что y1 = x является частным решением дифференциального уравнения при x ≠ 0. Понизим степень исходного уравнения с помощью замены откуда .

Если вспомнить правило дифференцирования произведения и свойства неопределенного интеграла, то
.

Подставив эти результаты в исходное уравнение, приходим к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными:

Проинтегрировав обе части равенства, получаем и после потенцирования общее решение можно записать как , где С – произвольная постоянная.

Так как мы принимали , то общим решением исходного ЛОДУ второго порядка будет , где F(x) одна из первообразных функции .

Первообразная F(x) в элементарных функциях не выражается.

При решении линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка , если удалось найти y1 и y2, то можно не заниматься подбором . Общее решение ЛНДУ может быть найдено методом вариации произвольных постоянных.

В этом случае общее решение ЛОДУ имеет вид y0 = C1 ⋅ y1 + C2 ⋅ y2. Варьируя произвольные постоянные, в качестве общего решения ЛНДУ принимаем y0 = C1(x) ⋅ y1 + C2(x) ⋅ y2. Производные неизвестных функции C1(x) и C2(x) определяются из системы уравнений , а сами функции C1(x) и C2(x) получаются при последующем интегрировании.

Пример.

Найдите общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка .

Решение.

Несложно заметить, что линейно независимыми частными решениями соответствующего ЛОДУ являются и , то есть, . Варьируем произвольные постоянные, и в качестве общего решения исходного дифференциального уравнения примем .

Составляем систему уравнений

Для ее решения используем метод Крамера:

Интегрируем полученные выражения для нахождения C1(x) и C2(x):

Таким образом, общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид .


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)