ЛОДУ 2-го порядка

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка

+ (x) y’ + (x) y 0 (3.3)

Решения

Устанавливается некоторыми свойствами его решения

Теорема:

Если функции = (x)

= (x)

являются частными решениями (3.3) то решение этого уравнения является функция

y= (x) + (x) (3.4)

= const

= const

Подставляем функцию y= (x)

+ (x) ’ + (x) ) = + (x) + (x) + (x) + (x) = ( ) + ( + (x) + (x) =

= 0 +0=0

решение уравнения (3.3)

и – решение уравнения (3.3)

Т. О. функция y= – является решением (3.3)

функция (3.4) содержит произвольную const: и

Но не непонятное является ли это общим решением

Введем понятие линейной зависимая функции: функция и называется линио независимой на интервале (a;b) если равенство

+ = 0 (3.5)

и – некоторые числа

Выполняется тогда когда = =0

Если хоть одно из чисел или отлично от нуля и выполнится равенство (3.5), то функция и называется линейно зависимыми

Функция и линейно зависима только тогда, когда их отношение = const

= с = const R

Например: = =3

= = = const линейно зависима

Функция = и =

= ≠ const линейно независима

Определить является ли данная формула линейно зависима можно с помощью определителя Вронского

Для 2-ух дифференциальных функций

вронскиан имеет вид:

w (x) =

Теорема 3.2: Если дифференциальная функция (x) и (x)

Линейно зависима на интервале от a до b то определитель Вронского на этом интервале = 0

Доказательство:

Поскольку + = 0 либо 0

=и -

Поэтому для

w (x) = = 0

Теорема 3.3:

Если функции (x) и (x) линейно независимы решения уравнения (3.3) на (a;b), то определитель Вронского не обращается в ноль

Из (3.2) и (3.3) следует, что Вронскиан не равен 0 ни в одной точке от (a;b), тогда когда частное решение линейно не зависимо

Совокупность 2-ух линейно не зависимых на (a;b) частных решений:

(x), (x)

ЛОДУ 2-го порядка определяет фундаментальную систему решений уравнений

решение можно получить как комбинацию y= (x) + (x)

Теорема 3.4:

Если 2 частных решения (x) и (x) ЛОДУ (3.3) образуют фундаментальную систему на (a;b) то общее решение этого уравнения является:

Функция = (3.6)

и - произвольная постоянная

Доказательство:

По теореме (3.1) функция (3.6) является решением уравнения (3.3) можно доказать, что это решение общее, то есть что из него можно получить единственное частное решение удовлетворяющее условию:

y (

y’ ( (3.7)

Подставим в условие (3.7) решение (3.6) получим систему:

y (, y’ (

= ( + (

= ( + (

= W (

Так как решение (y.1) и (y.2) образует фундаментальную систему решений и (a,b) то по теореме (3.3)

W ( 0

по этому система уравнения имеет единственное решение:

= =

= =

y = + (единственная в силу теоремы единственности)

Уравнение (3.3) удовлетворяет начальным условия (3.7)

На основе теоремы (3.40 общее решение уравнения y’’+y=0

Является функция y= sinx+ cosx

Поиск по сайту: