Способи доведення тригонометричних тотожностей

Як вже зазначалося, два вирази відповідні значення яких рівні для всіх значень змінних, називаються тотожно рівними.

Оволодіння вміннями та навичками доведення тригонометричних тотожностей можливе лише в ході постійного застосування основних тригонометричних формул.

Завдання тригонометричних тотожностей в курсі математики для студентів першого року навчання в коледжі полягає в тому, щоб студенти, з одного боку, добре засвоїли всі можливі тригонометричні формули курсу, які дуже важко запам’ятати і вміти ними користуватися; а з другого боку - без перешкод у подальшому вивченні тригонометрії удосконалювати навик розв’язку рівнянь та нерівностей.

Крім функції вдосконалення знань про основні тригонометричні формули, тригонометричні тотожності ще й мають на меті розвиток уяви, вдосконалення мислення та пам’яті.

За рекомендаціями методичної літератури заучування тригонометричних формул не обов’язкове. Головне, щоб студенти розуміли їх і вміли застосовувати. Також доцільно показати зв’язки між тригонометричними формулами, що вони не суперечать одна одній. Наприклад продемонструймо зв'язок між 12, 15 та 24 формулами, які наведені у додатку В.

Доведемо дану тотожність sin 2 α = 2 sin α · cos α, використовуючи формулу В.12.

sin 2 α = sin (α+ α)= sin α · cos α + cos α · sin α =2 sin α · cos α.

Застосуємо до останнього виразу 24 формулу, наведену у додатку В (В.24).

2 sin α · cos α = 2 · = sin 2 α.

Даний приклад показує тісний взаємозв’язок між тригонометричними формула, а отже доводити тригонометричні тотожності можна різними способами, намагаючись вибрати оптимальний.

При цьому, здебільшого, тригонометричні тотожності побудовані так, що формула, або її наслідок містяться в самій умові виразу, треба тільки ретельно придивитися до нього і побачити цю формулу, тоді тотожність доводиться досить просто. Якщо потрібно застосувати декілька формул, або коли зміст виразу не містить формули або її наслідку, то доцільно творчо підійти до процесу доведення.

При доведенні тригонометричних тотожностей студенти можуть себе перевірити, бо бачать до якого виразу необхідно перетворити даний вираз. Даний спосіб є найбільш простим.

Покажімо загальну схему доведення тригонометричних тотожностей:

При доведенні тригонометричних тотожностей зустрічаються такі випадки, коли:

- в складі тотожності зустрічається сама тригонометрична формула або її наслідок;

- в складі тотожності зустрічаються інші математичні формули або їх наслідки (наприклад, додаток Б).

Розглянемо найбільш поширені способи доведення тригонометричних тотожностей.

Нехай необхідно довести тотожність А = В, де А і В – це тригонометричні вирази лівої та правої частин тотожності.

Способи доведення тотожностей:

1) Довести рівність однієї частині виразу іншій, тобто перетворити вираз А, щоб він був такий самий як і вираз В, або В перетворити на вираз А.

Частковим випадком цього способу є випадок, коли вирази А та В представлені у вигляді дробів А = а/b, а вираз В = с/d, тоді тотожність а/b = c/d доводиться як пропорція ad = bc.

2) Перетворити вирази А, В на деякий вираз С (А = С, В = С), і зробити висновок про тотожність виразів А і В на даній множині значень.

3) Довести, що А – В = 0, або, що В – А = 0.

Поиск по сайту: