 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Построение годографа Михайлова
А) Выписываем характеристический многочлен для замкнутой системы, описываемой уравнением (1)
D (s) = 50 + (25s+1) 
(0,1s+1)(0,01s+1) = 50+(625 
+50s+1)(0,001 +0,11s+1) =0,625 
+68,85 
+630,501 +50,11s+51.
Корни многочлена D (s) могут быть: нулевыми; вещественными (отрицательными, положительными); мнимыми (всегда парными, сопряженными) и комплексными сопряженными.
Б) Преобразуем к виду s→ ωj
D (
)=0,625 
+68,85 
+630,501 
+50,11 +51=0,625ω 
-68,85jω 
- 630,501ω +50,11jω+51
ω – частота сигнала, j = (-1)1/2 – мнимая единица. J4 =(-1)4/2=1, J3 =(-1)3/2=-(-1)1/2= - j, J2 =(-1)2/2=-1, J =(-1)1/2= j,
В) Выделим действительную и мнимую часть.
D = U(
)+jV(), где U() – действительная часть, а V() – мнимая часть.
U(ω) =0,625ω -630,501ω +51
V(ω) =ω(50,11-68,85ω )
Г) Построим годограф Михайлова.
Построим годограф Михайлова вблизи и сдали от нуля, для этого построем D(jw) при изменении w от 0 до +∞. Найдем точки пересечения U (w) и V (w) с осями. Решим задачу с использованием MicrosoftExcel.
-задаем значения w в диапазоне от 0 до 0,0001 до 0,1, рассчитаем в табл. Excel значения U (ω) и V (ω), D(ω); находим точки пересечения U (w) и V (w) с осями,
-задаем значения w в диапазоне от 0,1 до 20, рассчитаем в табл. Excel значения U (w) и V (w), D; находим точки пересечения U (w) и V (w) с осями.
Таблица 2.1 – Определение действительной и мнимой частей и самого многочлена D ()с использованием MicrosoftExcel
| ω | 0,0001 | 0,001 | 0,003 | 0,006 | 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,04 | 0,05 | 0,06 | 0,07 | 0,08 | 0,09 | 0,1 |
| U(ω) | 51,0 | 51,0 | 50,9 | 50,7 | 50,4 | 50,0 | 49,4 | 48,7 | 47,9 | 47,0 | 45,9 | 44,7 | ||
| V(ω) | 0,005 | 0,05 | 0,15 | 0,298 | 0,494 | 0,975 | 1,4413 | 1,8942 | 2,333 | 2,7587 | 3,17 | 3,5682 | 3,952 | 4,3225 |
| D | 51,005 | 51,05 | 51,14 | 51,28 | 51,43 | 51,72 | 51,874 | 51,885 | 51,76 | 51,489 | 51,08 | 50,533 | 49,845 | 49,018 |
| ω | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,5 | 0,7 | 0,8 | 1,0 | 5,0 | 7,5 | 10,0 | 12,5 | 15,0 | ||
| U(ω) | 44,70 | 25,78 | -5,74 | -107 | -258 | -352,3 | -578,9 | -2461 | -15321 | -33437 | -56749 | -83206 | -110171 | -152149 |
| V(ω) | 4,32 | 7,27 | 8,84 | 7,843 | 1,341 | -3,976 | -18,74 | -175,2 | -1471 | -3497 | -6384 | -10131 | -14740 | -26538 |
| D | 49,02 | 33,05 | 3,10 | -98,7 | -256 | -356,2 | -597,6 | -2636 | -16792 | -36934 | -63133 | -93337 | -124911 | -178687 |
Рис. А, Б, ….. Зависимости U (ω) и V (ω), D(ω) от ω
По рис. А, Б, …..находим точки пересечения U (w) и V (w) с осями:
при ω = 0 U (ω)= …. и V (ω)= ……
Рис.1. Годограф Михайлова при ω = 0:000,1:0,1.
Рис.2. Годограф Михайлова при ω = 0,1:20
Д) Выводы об устойчивости системы по годографу.
Устойчивость (как понятие) любой динамической системы определяется ее поведением после снятия внешнего воздействия, т.е. ее свободным движением под влиянием начальных условий. Система является устойчивой, если она возвращается в исходное состояние равновесия после прекращения действия на систему сигнала (возмущения), выведшего ее из этого состояния. Неустойчивая система не возвращается в исходное состояние, а непрерывно со временем удаляется от него. Для оценки устойчивости системы необходимо исследовать свободную составляющую решения уравнения динамики, т.е решения уравнения:.
D (s) = (d sn +.... + dn)= 0.
Проверить устойчивость системы с помощью критерия Михайлова:
Критерий Михайлова: Для устойчивой АСР необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова (см. рис.1 и рис.2), начинаясь при w = 0 на положительной вещественной полуоси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) при возрастании w от 0 до ∞ n квадрантов, где n - степень характеристического полинома.
Из решения видно (см. рис.1 и рис.2), что годограф удовлетворяет следующим условиям критерия: Начинается на положительной вещественной полуоси при w = 0. Годограф не удовлетворяет следующим условиям критерия: не обходит в положительном направлении все 4 квадранта (степень полинома n=4) при ω 
.
Делаем вывод, что данная разомкнутая система не устойчива.
Поиск по сайту: