Численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений

Теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции утверждает, что если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Следствие (теорема о нуле непрерывной функции): если непрерывная функция принимает на концах отрезка положительное и отрицательное значение, то существует точка, в которой она равна нулю.

Функция fzero позволяет приближенно вычислить корень уравнения на некотором интервале или ближайший к заданному начальному приближению.

В простейшем варианте fzero вызывается с двумя входными и одним выходным аргументом

х = fzero ('func_name’, х0),

где func_name – ИМЯ файл-функции, вычисляющей левую часть уравнения,

х0 – начальное приближение к корню,

х – найденное приближенное значение корня.

Пример 1. Нахождение корней уравнения sin(x)-x*cos(x)= 0 на отрезке [-5, 5]

Перед нахождением корней нужно построить график функции, входящей в левую часть уравнения.

Задание 1. Создать файл-функцию myf(x), вычисляющую левую часть уравнения из примера 1. Построить график функции, входящей в левую часть уравнения, sin(x)-x*cos(x)= 0 на отрезке [-5, 5].

Уточните значение корня, расположенного вблизи х = - 5, при помощи fzero:

x1=fzero('myf',-5)

x1 =

-4.4934

Итак, приближенное значение корня равно -4.7566. При указании начального приближения к корню алгоритм fzero автоматически отделяет корень, т. е. вблизи заданного начального приближения находится отрезок, содержащий корень. В этом случае fzero может использовать больший интервал определения функции, чем исходный отрезок [-5, 5].

Проверьте ответ, вычислив значение функции myf в точке xl

myf(x1)

ans =

1.1102e-016

Проверьте работу fzero, вычислив корень myf, расположенный вблизи нуля, там, где точное значение корня равно нулю.

x4=fzero('myf',0.1)

x4 =

-7.4135e-009

Задание 2. Найти корень х2, расположенный около точки 5.

Вместо начального приближения вторым параметром fzero можно задать интервал, на котором следует найти корень:

x2=fzero('myf',[-5 -1])

x2 =

-4.4934

На границах указываемого интервала функция должна принимать значения разных знаков (см. теорему о нуле непрерывной функции), иначе выведется сообщение об ошибке!

В качестве исследуемой функции может выступать и встроенная математическая функция, например

fzero('sin', [2 4])

ans =

3.1416

Допустимы другие способы вызова fzero. Во-первых, функцию с исследуемой математической функцией можно задать при помощи указателя на нее:

>> x2=fzero(@myf,[-5 -1])

x2 =

-4.4934

Во-вторых, воспользовавшись функцией inline:

>> fun = inline('sin(x) - x.*cos(x)')

fun =

Inline function:

fun(x) = sin(x) - x.*cos(x)

>> xl = fzero(fun, -5)

xl =

-4.4934

В-третьих, создав анонимную функцию:

>> fun = @(x) sin(x)-x.*cos(x)

fun =

@(x)sin(x)-x.*cos(x)

>> xl = fzero(fun,-5)

xl =

-4.4934

Обращение к fzero с двумя выходными аргументами позволяет не только приближенно найти корень, но и получить значение функции в найденной точке.

>> [x2, f] = fzero(@myf, -2)

x2 =

6.2926e-009

f =

Важной особенностью fzero является то, что она вычисляет только те корни, в которых функция меняет знак, а не касается оси абсцисс. Найти корень уравнения х^2 = 0 при помощи fzero не удается:

>> fun=inline('х.^2');

>> x = fzero(fun, -0.1)

??? Error using ==> fzero at 301

FZERO cannot continue because user supplied inline object ==> fun

failed with the error below.

Error: The expression to the left of the equals sign is not a valid target for an assignment.

В данном примере fzero пыталась найти промежуток, на границах которого значения функции myf имеют различные знаки, что гарантировало бы существование корня на этом промежутке. Такой промежуток, естественно, определить не удалось, и fzero вывела сообщение об ошибке в командное окно.

Задание 3. Решите по два нелинейных алгебраических уравнения из табл. 1 с помощью функции fzero.

Порядок выполнения задания 1.

Для каждого из уравнений выполните е шаги 1-2.

1. Приравняйте уравнение к нулю, если это необходимо.

2. Постройте график левый части приравненного к нулю уравнения.

3. Выберете интервал локализации любого корня для первого уравнения. В контексте поиска корня нелинейного алгебраического уравнения интервал локализации – отрезок, на концах которого функция имеет разный знак. Кроме того, на этом отрезке функция должна быть монотонна. Данные условия, вытекающие из теоремы о нуле непрерывной функции, являются необходимыми и достаточными для существования единственного корня на отрезке.

4. Создайте inline функцию для левой части первого уравнения.

5. Вызовите функцию fzero, входными аргументами которой будут inline функция и интервал локализации.

6. Создайте анонимную функцию для левой части второго уравнения.

7. Вызовите функцию fzero, входными аргументами которой будут анонимная функция и произвольная точка в окрестности корня.

Табл. 1. К заданию 4.

Поиск по сайту: