АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Постановка задачи на примере и ее формализация

Читайте также:
  1. I Психологические принципы, задачи и функции социальной работы
  2. I. 1.1. Пример разработки модели задачи технического контроля
  3. I. 1.2. Общая постановка задачи линейного программирования
  4. I. 2.1. Графический метод решения задачи ЛП
  5. I. ГИМНАСТИКА, ЕЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
  6. I. ЗАДАЧИ ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ПРАКТИКИ
  7. I. Значение и задачи учета. Основные документы от реализации продукции, работ, услуг.
  8. I. Ситуационные задачи и тестовые задания.
  9. I. Цель и задачи дисциплины
  10. I.5.3. Подготовка данных для задачи линейного программирования
  11. I.5.4. Решение задачи линейного программирования
  12. I.5.5. Просмотр и анализ результатов решения задачи

Рассмотрим технологическую схему получения ректифицированного спирта, представленную на рис. 5.1.

Рис 5.1.

 

С 0, С 1, С 2, С 3 - концентрации спирта;

G 1, G 2, G 3 - расходы пара;

C 1= F 1 (C 0, G 1); C 2= F 2 (C1,G2); C 3= F3 (C2,G3);

где F 1, F 2, F3 функции, связывающие выход и вход на каждой стадии ректификации.

Необходимо минимизировать расход пара, т.е. найти такие

G 10, G 20, G 30, при которых

→ min

Учитывая, что argmax f0(X) = argmin (-f0(X)), (см. раздел 1.4.), получаем оптимизационную задачу для многостадийного процесса.

-

Gi* ≤ Gi ≤ Gi * i = 1, 2, 3

D= Ci - Fi (C i-1, Gi) = 0

C3 ≥ Cзад

Формализуя данную задачу для процесса из n стадий, получаем структурную схему, представленную на рис. 5.2., для каждого элемента которой выполняется условие Xi = fi (Xi -1, Ui) и формируется целевая функция f0i (Xi, Ui) (в примере Gi).

 

Рис. 5.2

Где, - переменные состояния (в примере Ci)

- переменные управления (в примере Gi)

Для всего процесса получаем:

I = () → , (5.1.)

где n – количество стадий (этапов) процессов.

(5.2) (5.3) (5.4)

Последовательность управлений U1, U2…Un(см. рис. 5.2) называется стратегией управления.

Оптимизация многостадийных процессов сводится к отысканию оптимальной стратегии управления, которая обеспечит перевод процесса из заданного начального состояния X0 в заданное конечное состояние Xn с минимальными затратами на управление.

 

5.2. Решение задачи методом неопределенных множителей Лагранжа.

Оптимизационная задача (5.1.) – (5.4.) представляет собой задачу определения условного max с автономными ограничениями (5.3), (5.4) и ограничениями типа связи (5.2). Как известно (см. раздел 4.2.1.) такая задача может быть решена методом неопределенных множителей Лагранжа:

(Xi, Ui)+

Необходимые условия оптимальности

(5.6.)

 

D= (5.7.)

 

= Xi - fi (Xi -1, Ui) = 0 (5.8.)

Поясним вывод выражения (5.6.). Например, для n = 2 имеем:

L = f 01(X 1 U 1) + f 02(X 2 U 2) +λ1 (X 1- f 1(X 0 U 1)) +λ2 (X 2f 2(X 1 U 2))

Произведя замену для случая стадий , получаем выражение (5.6), которое является рекуррентной формулой для расчета λ i. через λi+1.

(5.9.)

Для его использования задается граничное условие. Очевидно, что после окончания процесса

λ n+1 = 0 (5.10.)

Пример:

Из условия примера следует:

Вычисляем значения частных производных, содержащихся в правой части выражения (5.9.).

для =1, 2, 3

Составляем функцию Лагранжа аналогично (5.5.):

(Xi, Ui)+

Из выражения (5.10) для случая n=3 имеем:

λn+1= λ4= 0

По выражению (5.9) вычисляем λi (i =1,2,3), используя значения частных производных, вычисленные выше

λ2 = λ3ּ1 - 1 = (-1) ּ1 - 1 = - 2

λ1 = (- 2) ּ1 – 1 = - 3

Проверяем выполняемость условия (5.7)

Так как производные , (i =1,2, 3) больше нуля, то необходимое условие оптимальности (5.7) может быть выполнено только при ∆ Ui < 0, т.е. при верхнем граничном значении управления (см. раздел 1.4.), следовательно, U 10= U 20= U 30=1.

Зная оптимальные значения переменных управления , (i =1,2, 3), рассчитываем оптимальные значения переменных состояния Xi 0по уравнению связи (5.8).

X 10 = X 0+ 2 U 1 = 1 + 2 · 1 = 3

X 20 = 3 + 2 · 1 = 5

X 30 = 5 + 2 · 1 = 7

Вычисляем максимальное значение критерия оптимальности

= (3 – 1) + (5 – 1) + (7 – 1) = 12

Задача решена.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.)