АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Пример. Исследовать характер точек перегиба функции f (х) = х3 - 2х2 + х + 1:

Читайте также:
  1. Демонстрационный пример.
  2. Классический метод решения задачи безусловной минимизации функции многих переменных. Пример.
  3. Конкретный пример. Внедрение тейлоризма в Венгрии
  4. Конкретный пример. Макгрегор Д. Человеческий аспект предприятия
  5. Конкретный пример. Памятка-правила
  6. Конкретный пример. Эксперимент на предприятии «Вольво»
  7. Метод исключения решения задачи на условный минимум. Пример.
  8. Например.
  9. Пример.
  10. Пример.
  11. Пример.
  12. Пример.

Исследовать характер точек перегиба функции f (х) = х3 - 2х2 + х + 1:

Решение. Зх2 - 4х+1 = 0, тогда (Зх - 1)(х - 1) = 0, т. е. х = 1/3 или х = 1.

При х = 1/3 производная меняет знак с положительного на отрицательный, а при

х = 1 - с отрицательного на положительный. Следовательно, в точке х = 1/3 дости­гается максимум, а в точке х = 1 - минимум. Этот пример может быть решен более простым способом, если вычислить вторую производную f''' = 6х — 4: f'''1/3) = -2, т. е. отрицательна, и при х = 1/3 достигается максимум; f''' (1) = 2, т. е. положительна, и при х = 1 достигается минимум. Неоднозначность, возникающую при f''' (*) = 0, можно разрешить, увели­чив количество членов в формуле разложения в ряд Тейлора

:

+ ) +

 

При этом можно сформулировать следующее правило: Если функция f (х) и ее производные непрерывны, то точка х0 является точкой экстремума (максимума или минимума) тогда, и только тогда, когда п четное, где n — порядок первой необращающейся в нуль в точке х0 производной.

Если < 0, то в точке х0 достигается максимум,

если > 0, то в точке х0 достигается минимум.

 

2). Функция у = f () (нескольких переменных).

 

Необходимое условие экстремума. Если х*() - точка локального безусловного экстремума непрерывно дифференцируемой в точке х* функции

у = f (), то все её частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, то есть

или в векторной форме Точки, удовлетворяющие условию (2.1), называются стационарными.

Достаточное условие экстремума. Если в стационарной точке х* функция f(x) дважды дифференцируема и матрица её вторых производных Н(х*) (матрица Гессе) положительно определена (то есть все её главные миноры ), то есть и Н(х*) > 0, то х*- точка локального минимума.(Напомним, что для прямоугольной матрицы Аmn определитель квадратной матрицы К-го порядка называется минором К-го порядка матрицы Аmn)

Матрица Гессе имеет вид:

Пример. Исследовать на экстремум функцию

.

Решение. Запишем необходимые условия экстремума:

 

Проверим достаточные условия. Матрица Гессе имеет вид:

 

,

 

то есть Так как то H(x*)>0 и точка x*=(0,0) является точкой локального минимума.

Для того чтобы найти, является ли данная квадратичная форма положительно определенной, мож­но воспользоваться теоремой, которая формулируется следующим образом. Для положительной определенности квадратичной фор­мы необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия Сильвестра:

Случай двух переменных. Достаточным условием минимума является по­ложительность главных миноров первого и второго порядков.

Случай трех переменных .Достаточным условием минимума для функции трех переменных является положительность всех трех миноров

Достаточным условием максимума для функции трех переменных является положительность четных мино­ров и отрицательность нечетных миноров

Аналогичным образом могут быть получены достаточные условия и при большем числе переменных.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)