Полиномиальная аппроксимация и методы точечного оценивания

Применение методов исключения интервалов, которые рассмат­ривались в предыдущем разделе, накладывает единственное требо­вание на исследуемую функцию: она должна быть унимодальной. Следовательно, указанные методы можно использовать для анализа как непрерывных, так и разрывных функций, а также в случаях, когда переменные принимают значения из дискретного множества. Логическая структура поиска с помощью методов исключения интервалов основана на простом сравнении значений функции в двух пробных точках. Кроме того, при таком сравнении в расчет прини­мается только отношение порядка на множестве значений функции и не учитывается величина разности между значениями функции. В данном разделе рассматриваются методы поиска, которые позво­ляют учесть относительные изменения значений функции и как следствие в ряде случаев оказываются более эффективными, чем методы исключения интервалов. Однако выигрыш в эффективности достигается ценой введения дополнительного требования, согласно которому исследуемые функции должны быть достаточно гладкими. Основная идея рассматриваемых методов связана с возможностью аппроксимации гладкой функции полиномом и последующего ис­пользования аппроксимирующего полинома для оценивания коор­динаты точки оптимума. Необходимыми условиями эффективной реа­лизации такого подхода являются унимодальность и непрерывность исследуемой функции. Согласно теореме Вейерштрасса об аппрок­симации [3], если функция непрерывна в некотором интервале, то ее с любой степенью точности можно аппроксимировать полиномом достаточно высокого порядка. Следовательно, если функция унимодальна и найден полином, который достаточно точно ее аппроксимирует, то координату точки оптимума функции можно оценить путем вычисления координаты точки оптимума полинома. Согласно теореме Вейерштрасса, качество оценок координаты точки оптиму­ма, получаемых с помощью аппроксимирующего полинома, можно повысить двумя способами: использованием полинома более высо­кого порядка и уменьшением интервала аппроксимации. Второй способ, вообще говоря, является более предпочтительным, поскольку построение аппроксимирующего полинома порядка выше третьего становится весьма сложной процедурой, тогда как уменьшение ин­тервала в условиях, когда выполняется предположение об унимо­дальности функции, особой сложности не представляет.

Поиск по сайту: