Метод золотого сечения

Факультет химической техники и кибернетики

Кафедра автоматики и технической кибернетики

Лабораторная работа №1

Дисциплина: Оптимизация объектов и Систем управления.

Тема: “Методы одномерной оптимизации”.

Вариант №3

Иваново 2012

Теоретическое введение.

Метод золотого сечения.

При построении процесса оптимизации стараются сократить объем вычислений и время поиска. Этого достигают обычно путем сокращения количества вычислений значений целевой функции f(x). Одним из наиболее эффективных методов, в которых при ограниченном количестве вычислений f(x) достигается наилучшая точность, является метод золотого сечения.

Если известно, что функция f(x) унимодальная на отрезке [a,b], то положение точки минимума можно уточнить, вычислив f(x) в двух внутренних точках отрезка. При этом возможны две ситуации:

f(x1)<f(x2)

Минимум реализуется на отрезке [a, x2].

f(x1)>f(x2)

Минимум реализуется на отрезке [x1, b].

Рис. 4

В методе золотого сечения каждая из точек x1 и x2 делит исходный интервал на две части так, что отношение целого к большей части равно отношении большей части к меньшей, т.е. равно так называемому "золотому отношению". Это соответствует следующему простому геометрическому представлению:

Здесь

или

(6)

Обозначив получаем откуда

Итак, длины отрезков [a,x1] и [x2,b] одинаковы и составляют 0,382 от длины (a,b). Значениям f(x1) и f(x2) определяется новей интервал (a,x2) или (x1,b), в котором локализован минимум. Найденный интервал снова делится двумя точками в том же отношении, причем одна из новых точек деления совпадает с уже использованной на предыдущем шаге.

Взаимное расположение точек первых трех вычислений можно показать следующим образом:

1) f(x1)<f(x2)

Первый шаг

Второй шаг

2) f(x1)≥f(x2)

Первый шаг

Второй шаг

Рис. 5

Таким образом, длина интервала неопределенности на каждом шаге сжимается с коэффициентом 0,618. На первом шаге необходимы два вычисления функции, на каждом последующем - одно.

Длина интервала неопределенности после S вычислений значений f(x) составляет:

(7)

Алгоритм метода золотого сечения для минимизации функции f(x) складывается из следующих этапов:

Вычисляется значение функции f(x1), где x1=a+0,382(b-a).

Вычисляется значение функции f(x2), где x1=b+0,382(b-a).

Определяется новый интервал (a,x2) или (x1,b), в котором локализован минимум.

Внутри полученного интервала находится новая точка (x1 в случае 1) или (x2 в случае 2), отстоящая от его конца на расстоянии, составляющем 0,382 от его длины. В этой точке рассчитывается значение f(x). Затем вычисления повторяются, начиная с пункта 3, до тех пор, пока величина интервала неопределенности станет меньше или равна ε, где ε - заданное сколь угодно малое положительное число.

Блок-схема алгоритма поиска минимума функции f(x) методом золотого сечения.

Рис. 6.

Поиск по сайту: