АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Методы оптимизации. 5.Условия существования экстремума функции(уравнение Эйлера, условие Лежандра)

Читайте также:
  1. II. Методы непрямого остеосинтеза.
  2. II. Рыночные методы.
  3. III. Методы искусственной физико-химической детоксикации.
  4. III. Параметрические методы.
  5. IV. Современные методы синтеза неорганических материалов с заданной структурой
  6. А. Механические методы
  7. Автоматизированные методы
  8. Автоматизированные методы анализа устной речи
  9. Адаптивные методы прогнозирования
  10. Административно-правовые методы государственного управления
  11. Административно-правовые методы государственного управления
  12. АДМИНИСТРАТИВНО-ПРАВОВЫЕ МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ

5. Условия существования экстремума функции(уравнение Эйлера, условие Лежандра).

Уравнение Эйлера:

1.Интегранд F[x,x/,t]-не содержит производной координаты в явном виде Fx/=0

Fx=0

2.выражение F[x,x/,t]-не содержит в явном виде искомую функцию x(t)т.е Fx=0 тоFx/=const, x=x1*t-искомая функция

3.выражение не содержит в явном виде независимой переменой t стремится Fx-x/Fx/=0 такое уравнение является первым интегралом уравнения Эйлера, т.е диф уравнением 1-ого порядка.

Функционалы зависящие от нескольких переменных.

Выражение функционала зависящая от н-переменых.

Требуется определить уравнение экстремалей x01(t), x02(t), x0n(t)доставляющие экстремум функционала.

Предположим что экстремум функционала существует и доставляется экстремам x01(t), x02(t), x0n(t).Зафиксируем все функции кроме x1(t) которому дадим приращение x1(t)= x01(t)+ δ x(t),тогда вариация функционирования будет зависить только от 1-ой функции. Из условия обращения первой вариации в 0 следует необходимое условие экстремума-выполнения уравнения Эйлера для функции x(t),

Точно такое же рассуждение можно применить их другим функциям. Функции доставляющие экстремум функцион. Должны удовлетворять системе диффер. уравнение Эйлера.

1.Условие Лежандра для простейшей вариационной задачи.

Для того, чтобы функционал

в задачи с закрепленными граничными точками достигал на экстремали min или max.Необходимо, чтобы вдоль этой кривой выполнялось условие

>0- min, <0- max.Если это выражение равно 0,то возможно разрывы и изломы экстремами.

2. Условие Лежандра для функционалах зависящих от n-переменах.

Для того чтобы функционал вида

Задачи с закрепленными гранич. Точками достигая на экстремали min или max необходимо чтобы вдоль экстремалей выполнялось условие

Если I>0,то мин I<0 то макс,а если часть главных опр. Матрицы больше 0,а часть меньше то решение является седловой точкой.

3. Условие Лежандра для задач содержащие производные высшего порядка.

Для того чтобы функционал вида:

стремящийся к extr

в задачах с запреп. граничными точками достигал на экстремали мин или макс необходимо чтобы вдоль экстремали выполнялось условие

больше или равно 0.При чем если эта функция >0 то мин,а если <0 то макс.

6. Задача Больца и алгоритм ее решения.

Задача Больца:

Функционал вида

(*) стремящийся к extr

Выражение функционала в задачи Больца дополняется первоначальной составляющий g[x(t1), x(t2)].В решеной интервал строго ограничен t принадлежит [t1, t2].С геометрической точки зрения это означает,что минимальное значение функционала описывается в классе функций x(t)концы которых не закреплены, а произвольно располагаются на прямых t=t1 и t=t2 назыв. трансверсалью.

Правило решения задачи Больца:

1.Формализации задачи в виде *

2.Записать необходимые условия существования экстремума.

1условие:условие существование экстремума в виде уравнения Эйлера

(x1-это х со штрихом)

2условие: условие трансверсальности

Fx/ |t=t1=gx |t=t1

Fx/ |t=t2= -gx |t=t2 - эти 2 условия взять в {

Где Fx/=ӘF/Әx/ Gx=Әg/Әx

3.Найти допустимые экстремум т.е решить уравнение Эйлера,так чтобы решение удовлетворяло условиям трансверальности.

4.Доказать,что решениями являются одна из допустимых экстремалей или доказать,что решения нет.

 

7. Задача Лагранжа и правило ее решения.

Если пользоваться мат аппаратом классического вариционного исчесления то можно определить оптимальное программное управление U* в случае если на U и X не наложены ограничения.

Математическое правило решения задачи Лагранжа:

1.На основе матем. Выражения критерия качества и математ. Модели объекта управления необходимо составить расширенный функционал качества вида

 

стремящийся к extr; (x1-это х со штрихом), где

 

 

-вектор неопределенных множит. Лагранжа

λ0 -обычное число (λ0=+1,если мин и -1 макс)

2.требуется определить необходимое условие существования экстремумов функционалов т.е составить систему уравнений Эйлера-Лагранжа для каждой переменной входящей в выражения.

Fpx=ӘFp / Әx= λ0* ӘF / Әx- ӘF / Әx

 

Fpx/ = λ0* ӘF / Әx/ - ӘF / Әx/

Fpu = λ0* ӘF / Әu - ӘF / Әu

Fpu/ = λ0* ӘF / Әu/

Fp λ=x/i-fi(x,u,t)

Fx - Ә / Әt *F x/=0

3.Решить систему диф. уравнений, решением будут искомые уравнения экстремами x* и u*.

8. Принцип Максимума Понтрягина.

Эффективным средством исследования задач оптимального управления

является принцип максимума Понтрягина, представляющий собой

необходимое условие оптимальности в таких задачах.

Рассмотрим задачу оптимального управления, являющуюся частным

случаем задачи, сформулированной выше:

(8.2).

где

При этом предполагается, что моменты t 0, T фиксированы, т.е.

рассматривается задача с закрепленным временем; множество U не зависит

от времени, фазовые ограничения отсутствуют.

Положим

Где – константа, .

Функция H называется функцией Гамильтона.

Система линейных дифференциальных уравнений

относительно переменных называется сопряженной системой,соответствующей управлению u и траектории x. Здесь

В более подробной покоординатной записи сопряженная система

принимает вид:

(8.4)

Система (8.4) имеет при любых начальных условиях единственное

решение , определенное и непрерывное на всем отрезке [t0,T].

Следующая теорема выражает необходимые условия оптимальности в

задаче (8.2).


1 | 2 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.)