МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ПРОГРАММЫ

С практической точки зрения эффективное применение и широкое распространение получили оптимизационные модели, позволяющие выявить максимум (или минимум) оптимизации производственной программы при четко заданных ограничениях.

Основной целью применения такой модели является всестороннее обоснование и правильный выбор критерияоптимизации. Чаще всего критериями оптимизации производственной программы могут быть следующие показатели максимальных значений: выпуска продукции, получения прибыли, использования производственной мощности.

Критериями оптимизации производственной программы для цехов, участков могут быть показатели минимальных значений: простоев оборудования, брака, отходов и т.д.

Если в систему вводят ограничение использования ресурса и его потребление лимитировано,.то используют формулу

Для использования таких моделей необходимо решить главный вопрос — обосновать факторы, вводимые в модель. При этом их число должно быть ограничено, а влияние существенно. Цель применения таких моделей — найти наиболее экономичные пути достижения заданного уровня объема производственной программы.

Имитационные модели воспроизводят и сопоставляют варианты решений в ходе производства и являются наиболее сложными, требующими применения широкого математического аппарата, включая оптимизационные, детерминированные, матричные модели.

Имитационные модели могут быть широко применимы в перспективном, текущем и оперативном планированиипроизводственной программы.

Обширное распространение в экономических расчетах нашли сетевые модели. Наиболее часто они применяются при построении сквозных графиков выпуска продукции с опережениями — основного документа оперативно-календарного плана.

Графическая модель позволяет воспроизвести методы согласования производственных процессов, найтирезервы повышения производства, определить наиболее предпочтительные варианты сокращения производственного цикла.

Сетевой график состоит из двух элементов: работ и событий. События — это начало или окончание каждого вида работ, которые четко фиксируются в начальной и конечной стадиях.

Сетевой график позволяет наиболее рационально построить план работы, установить строгую последовательность и очередность для выполнения всех операций и действий. С помощью сетевого графика можно точно определить сроки свершения каждого события и срок достижения результата.

Сетевой график составляется на каждый тип нового изделия. С помощью сетевого графика можно показать полный путь движения к цели в виде цепочки взаимосвязанных работ и событий, включающий затраты времени и средств на него, а также представить другие возможные варианты действий.

Свойства объективно обусловленных оценок и их анализАнализ задачи с использованием объективно обусловленных оценок показывает, что первый ресурс (древесина) расходуется не полностью. Можно убедиться, что для найденного оптимального плана достаточно 96 куб. м древесины, а 104 куб. м избыточны. Изменение ограничения по древесине с 200 до 96 куб. м не повлияет на оптимальный план. Следовательно, объективно обусловленные оценки являются устойчивыми в некоторых пределах изменения исходных условий задачи. Объективно обусловленные оценки выступают как мера дефицитности ресурсов. Древесина, объективно обусловленная оценка которой у нас равна нулю, не дефицитна, а трудовые ресурсы с объективно обусловленной оценкой, равной в нашей задаче 33,3, дефицитны и используются полностью. Объективно обусловленные оценки выступают как мера влияния ограничений на целевую функцию при приращении данного ресурса на единицу. Так, например, уменьшение задания по производству столов с 80 до 79 увеличивает целевую функцию на 220 руб., а увеличение трудовых ресурсов с 1800 до 1801 чел.-ч увеличивает целевую функцию (если снять условие целочисленности) на 33,3 руб. Объективно обусловленные оценки выступают как меры взаимозаменяемости резервов (ограничений). Так, например, если увеличить задание по производству столов на единицу, то для того чтобы целевая функция осталась прежней, нужно добавить 6,6 чел.-ч (220/33,3). В этом случае х ₁ будет равен 81, х ₂ = 1391, а значение целевой функции составит 42400. Следует иметь в виду, что при существенном изменении исходных условий задачи обычно получается уже другая система оценок. Следовательно, объективно обусловленные оценки обладают свойством конкретности, так как определяются совокупностью условий данной задачи. Для другой задачи и других условий их значения будут совершенно иными.

4. Общие модели производственного планирования.

Под термином «производственное планирование» подразумевается овладение рядом навыков и умений, которые позволяют своевременно прогнозировать цели и результаты мер, предпринятых предприятием, являющимся непосредственным субъектом экономики, с целью повышения определенных позиций. Как и любой план, производственное планирование базируется на основополагающих научных принципах:- необходимости планирования;- непрерывности;- единства (системности);- гибкости;- точности;- участия (сотрудничества);- обоснования целей и определения конечного результата.В целях реализации вышеперечисленных принципов производственного планирования следует строго и неукоснительно придерживаться следующих основных методов:1. Нормативный метод – подразумевает обязательное наличие на предприятии строгой унифицированной системы норм и нормативов.2. Балансовый метод – регламентирует отношения между возникающими производственными потребностями в ресурсах и поиском источников их покрытия.3. Расчетно-аналитический метод – применяется для расчета и последующего мониторинга основных показателей плана.4. Экономико-математический метод – применяется при разработках основных экономических моделей плана, что дает возможность выбрать наиболее оптимальный вариант.5. Графоаналитический метод –анализ достигнутых результатов с обязательным выражением полученных данных в графическом виде.6. Программно-целевой метод – отвечает за оформление производственного плана в виде целевой программы, которая основывается на реализации комплексных задач, объединенных единой целью и имеющих строгий временной регламент.Каждое планирование строится с учетом определенных временных рамок. Краткосрочные планы рассчитаны на 1-2 года с составлением отчетности по декадам, месяцам и кварталам. Среднесрочное планирование рассчитано на более длительный срок до 3 лет. Самым масштабным, сроком на 10-25 лет, является долгосрочное планирование. Здесь обязательна разработка стратегии деятельности предприятия на весь отчетный период. Так как ни одно производственное планирование не обходится без определения основных значений, базирующихся на содержательном материале, выделяют стратегическое, техническое и оперативное планирование. И если стратегическое и техническое планирование охватывают только краткосрочный и среднесрочный периоды, то оперативное планирование способствует объединению отдельных производственных деталей в единое целое.Основной целью любого производственного планирования является составление индивидуального бизнес-плана. Это основной документ, регулирующий работу предприятия на весь период его деятельности. Таким образом, бизнес-план должен составлять основу стратегического планирования. Как правило, он рассчитан на срок от 3 до 5 лет, что помогает управленческому аппарату беспрепятственно осуществлять контроль и руководство всеми структурами предприятия.

Слово “программирование” объясняется здесь тем, что неизвестные переменные, которые отыскиваются в процессе решения задачи, обычно в совокупности определяют программу (план) работы некоторого экономического объекта. Слово “линейное” отражает факт линейной зависимости между переменными. При этом, как указано, задача обязательно имеет экстремальный характер, т. е. состоит в отыскании экстремума (максимума или минимума) целевой функции.

Следует с самого начала предупредить: предпосылка линейности, когда в реальной экономике подавляющее большинство зависимостей носит более сложный нелинейный характер, есть огрубление, упрощение действительности. В некоторых случаях оно достаточно реалистично, в других же выводы, получаемые с помощью решения задач Л. п., оказываются весьма несовершенными.

Рассмотрим две задачи Л. п. (на максимум и на минимум) на упрощенных примерах. Предположим, требуется разработать план производства двух видов продукции (объем первого — x₁; второго — x₂) с наиболее выгодным использованием трех видов ресурсов (наилучшим в смысле максимума общей прибыли от реализации плана). Условия задачи можно записать в виде таблицы (матрицы):

Исходя из норм, зафиксированных в таблице, запишем неравенства (ограничения):

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ ≤ b_i

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ ≤ b₂

a₃₁x₁ + a₃₂x₂ ≤ b₃.

Это означает, что общий расход каждого из трех видов ресурсов не может быть больше его наличия. Поскольку выпуск продукции не может быть отрицательным, добавим еще два ограничения:

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Требуется найти такие значения x₁ и x₂, при которых общая сумма прибыли, т. е. величина c₁ x₁ + c₂ x₂, будет наибольшей или короче:

Удобно показать условия задачи на графике (рис. Л. 2).

5. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИ Е [dynamic programming] — раздел математического программирования, совокупность приемов, позволяющих находить оптимальные решения, основанные на вычислении последствий каждого решения и выработке оптимальной стратегии для последующих решений.

Процессы принятия решений, которые строятся по такому принципу, называются многошаговыми процессами. Математически оптимизационная задача строится в Д. п. с помощью таких соотношений, которые последовательно связаны между собой: напр., полученный результат для одного года вводится в уравнение для следующего (или, наоборот, для предыдущего), и т. д. Таким образом, можно получить на вычислительной машине результаты решения задачи для любого избранного момента времени и “следовать” дальше. Д. п. применяется не обязательно для задач, связанных с течением времени. Многошаговым может быть и процесс решения вполне “статической” задачи. Таковы, напр., некоторые задачи распределения ресурсов.

Общим для задач Д. п. является то, что переменные в модели рассматриваются не вместе, а последовательно, одна за другой. Иными словами, строится такая вычислительная схема, когда вместо одной задачи со многими переменными строится много задач с малым числом (обычно даже одной) переменных в каждой. Это значительно сокращает объем вычислений. Однако такое преимущество достигается лишь при двух условиях: когда критерий оптимальности аддитивен, т. е. общее оптимальное решение является суммой оптимальных решений каждого шага, и когда будущие результаты не зависят от предыстории того состояния системы, при котором принимается решение. Все это вытекает из принципа оптимальности Беллмана (см. Беллмана принцип оптимальности), лежащего в основе теории Д. п. Из него же вытекает основной прием — нахождение правил доминирования, на основе которых на каждом шаге производится сравнение вариантов будущего развития и заблаговременное отсеивание заведомо бесперспективных вариантов. Когда эти правила обращаются в формулы, однозначно определяющие элементы последовательности один за другим, их называют разрешающими правилами.

Процесс решения при этом складывается из двух этапов. На первом он ведется “с конца”: для каждого из различных предположений о том, чем кончился предпоследний шаг, находится условное оптимальное управление на последнем шаге, т. е. управление, которое надо применить, если предпоследний шаг закончился определенным образом.

Такая процедура проводится до самого начала, а затем (второй раз) выполняется от начала к концу, в результате чего находятся уже не условные, а действительно оптимальные шаговые управления на всех шагах операции (см. пример в ст. “Дерево решений”).

Несмотря на выигрыш в сокращении вычислений при использовании подобных методов по сравнению с простым перебором возможных вариантов, их объем остается очень большим. Поэтому размерность практических задач Д. п. всегда незначительна, что ограничивает его применение.

Можно выделить два наиболее общих класса задач, к которым в принципе мог бы быть применим этот метод, если бы не “проклятие размерности”. (На самом деле на таких задачах, взятых в крайне упрощенном виде, пока удается лишь демонстрировать общие основы метода и анализировать экономико-математические модели.) Первый класс — задачи планирования деятельности экономического объекта (предприятия, отрасли и т. п.) с учетом изменения потребности в производимой продукции во времени. Второй класс — оптимальное распределение ресурсов между различными направлениями во времени. Сюда можно отнести, в частности, такую интересную задачу: как распределить урожай зерна каждого года на питание и на семена, чтобы в сумме за ряд лет получить наибольшее количество хлеба.

Принцип Беллмана дает достаточные условия оптимальности процесса в задаче оптимального управления. Он базируется на следующем ключевом факте:Если кривая x*(t) является оптимальной траекторией в задаче управления динамической системой на отрезке времени [t0, T], с некоторым начальным условием x(t0) = x0, то для любого момента времени t Î [t0, T] оптимальным решением задачи управления системой на отрезке времени [t, T] с начальным условием x(t) = x*(t) будет являться участок той же самой траектории x*(t) (см. рис. 4.1).Рассмотрим задачу оптимального управления в виде:J(x(×), u(×)) = + Ф0(t1, x(t1)) ® max. (4.1) , x(t0) = x0, (4.2)u(t) Î Ut, (4.3)и пусть J* – значение функционала на оптимальном ее решении (x*(t), u*(t)).Теперь для произвольного момента времени t Î [t0, T] и произвольной точки фазового пространства у положим в задаче (4.1) – (4.3) t0 = t, x(t) = у. Функцию J*(t, у), равную значению функционала на оптимальном решении такой задачи, будем называть функцией Беллмана или функцией выигрыша.Отметим, что J* = J*(t0, x0).

t0

t

t

ИсследуИсследуем теперь изменение функции J*(t, x) с течением времени вдоль оптимальной траектории системы, то есть, при x = x*(t). Рассмотрим малое прираще­ние времени dt. За это время система перейдет в новое состояниеx*(t + dt)» x*(t) + dx*(t),где, из (4.2),dx*(t) = f(t, x*(t), u*(t))dt.Изменение значения функционала (4.1) на отрезке [t, t + dt]. может происходить только за счет интегральной его части и приближенно составляет » F(t, x*(t), u*(t))dt,а оставшаяся часть, согласно принципу оптимальности Беллмана, будет равна J*(t + dt, x*(t + dt)). Таким образом, получено следующее рекуррент­ное соотношение:

J*(t, x*(t))» F(t, x*(t), u*(t))dt + J*(t + dt, x*(t + dt)). (4.4)Теперь, пользуясь оптимальностью u*(t), можем переписать (4.4) следующим образом:

J*(t, x(t))» {F(t, x(t), u(t))dt + J*(t + dt, x(t + dt))}. (4.5)Далее, в предположении дифференцируемости J*(t, x) по своим аргументам, переходя к пределу при dt ® 0 и учитывая (4.2), получим следующее соотношение:

– = {F(t, x(t), u(t)) + f(t, x(t), u(t))}. (4.6)Соотношение (4.6) представля­ет собой дифференциальное уравне­ние в частных производ­ных первого порядка для опре­деле­ния функции J*(t, x). Оно называется урав­нением Беллмана в дифферен­циаль­ной форме.Краевым условием для данного уравнения является оптимальное значение функционала при t = t1, равное терминальному члену:

J*(t1, x(t1)) = Ф0(t1, x(t1)). (4.7)Как правило, аналитическое решение уравнения (4.6) найти довольно сложно или вовсе невозможно. Поэтому прибегают к дискретизации задачи (4.1) – (4.3) с последующим ее численным решением. Дискретная задача формулируется следующим образом:

J(x(×), u(×)) = + Ф0(xN) ® max. (4.8)

xi+1 = f(xi, ui), x0 – задано. (4.9)

ui Î Ui, (4.10)Отметим, что в дискретной задаче состояние системы будет описываться вектором x = (x0, x1,…, xN) Î RN+1, а управление – вектором u = (u0, u1,…, uN–1) Î RN.Для (4.8) – (4.10) уравнение Беллмана будет иметь следующий вид:

Ji*(xi) = {F(ti, xi, ui)Dti + Ji+1*(f(xi, ui))}, (4.11)с краевым условием

JN*(xN) = Ф0(xN).Решение задачи (4.11) при заданных краевых условиях производится последовательным решением уравнения (4.11) для шагов i = N–1, N–2, …, 0 (обратный ход метода Беллмана). При этом на каждом шаге получается оптимальное управлениеui* как функция от текущего состояния системы xi. На втором этапе по полученным функциям ui*(xi) производится синтез оптимального управления для задачи с конкретным начальным условием x0.Таким образом, метод динамического программирования, в отличие от рассмотренных выше необходимых условий, дававших оптимальное управление как функцию времени u*(t) (программное управление), позволяет определять оптимальное управление как функцию состояния системы u*(t, x) (синтезированное управление), что дает возможность отыскивать решение сразу для целого класса задач с различными начальными условиями.Далее будем считать, что в функционал задачи время не входит явно. Положим шаг Dti равным 1. Введем понятиегоризонта планирования как количества шагов, оставшихся до завершения управления. Обозначим
Vk(x) = JN -k*(x),т.е. максимальный выигрыш, который можно получить за k шагов, если начать из состояния x. В этом случае рекуррентное соотношение для Vk(x) принимает вид:

Vk(x)= {F(x, u) + Vk-1(f(x, u)), (4.12)
с краевым условием: V0(x) = Ф0(x).

Поиск по сайту: