Метод ЭЛЕКТРА

Рассмотрим пример метода многокритериальной оптимизации. Это - так называемые методы ЭЛЕКТРА, предложенные известным специалистом по ТПР профессором Б. Руа (Франция).

Цель применения методов ЭЛЕКТРА - сужение паретовского множества альтернатив. Делается это так. Для каждого из критериев (предполагается, что они - числовые) определяется по результатам опроса ЛПР «вес» - число, характеризующее важность соответствующего критерия. Во всех модификациях метода ЭЛЕКТРА делается попытка получения от ЛПР информации качественного характера об относительной важности критериев (высказывания типа «критерии 3 и 4 имеют одинаковую важность и рассматриваемые совместно имеют большую важность, чем критерий 1») и преобразования ее в количественную, числовую. Проблема здесь состоит в том, что сделать это можно в общем случае множеством способов.

Далее, для каждой пары сравниваемых альтернатив x=(x₁,.....,x_n) и y=(y₁,.......,y_n) (где n - число критериев, а для дальнейшего мы через I обозначим множество критериев, т.е. ½½I½½= n) выполняются такие действия. Множество I разбивается на 3 подмножества:

I⁺(x,y) - множество критериев, по которым х превосходит у: x>y.

I^- (x,y) - множество критериев, по которым у превосходит х: у>х.

I⁼(x,y) - множество критериев, по которым х и у имеют одинаковые оценки: у=х.

Определяется относительная важность P P P каждого из этих подмножеств:

(* Î{+, -,=})

P_i. - коэффицент относительной важности i -го критерия. Теперь мы готовы сформировать правило сравнения альтернатив х и у:

- в методе ЭЛЕКТРА-I оно таково:

, .

- в методе ЭЛЕКТРА-II оно модифицировано:

, (c ₂³1).

Всё рассмотренное до сих пор весьма традиционно, и содержит традиционную погрешность в логических рассуждениях: получается, что очень маленький выигрыш по одному критерию может компенсировать очень большой проигрыш по другому. Для того чтобы эту трудность (погрешность) исключить, в методе «Электра» пытаются НЕ сравнивать очень сильно различающиеся альтернативы. Они просто объявляются несравнимыми. Вводится так называемый «индекс несогласия»:

х и у несравнимы, если d_xy ³d,

где d_xy - расстояние между х и у определяется как max_içx_i - y_iç, a d - т.н. порог индекса несогласия. Теперь введённые нами раньше соотношения модифицируются так:

в ЭЛЕКТРА-I

.

в ЭЛЕКТРА-II

.

Получаемое бинарное отношение, очевидно, уже не будет обладать свойством полноты. Это учитывается и в окончательном результате ЭЛЕКТРА. Он таков. В исходном паретовском множестве выделяется т.н. ядро, состоящее из недоминируемых по новому (описанному нами) бинарному отношению элементов и всех, несравнимых с ними (т.е. любой элемент, не вошедший в ядро, доминируется хотя бы одним элементом ядра). Отметим, что, к сожалению, нельзя гарантировать цикличность отношения, получаемого описанным способом.

Рассмотрим данный метод на примере решения о покупке автомобиля.

Сначала составляют таблицу критериев, по которым будут оценивать проекты (см. табл. 1).

Далее эксперт составляет таблицу оценок проектов (автомобилей). Например, для 7-ми автомобилей эксперт заполняет таблицу так, как показано в табл. 2.

Рассматриваем все пары проектов i и j. Если по какому-либо критерию i -ый проект лучше, чем j -ый, то соответствующий критерию вес прибавляется к P_ij (эти баллы символизируют выбор «За»), в противном случае — к N_ij (эти баллы символизируют выбор «Против»). То же самое справедливо для j -го проекта: если j -ый проект оказывается лучше, чем i -ый, то соответствующий критерию вес прибавляется к P_ji, в противном случае — к N_ji (обратите внимание на порядок следования индексов j и i у P и N). Если повстречалось одинаковое для i -го и для j -го проектов значение критерия, то оно пропускается. Затем, когда по паре i и j рассмотрены все критерии, находятся отношения D_ij = P_ij / N_ij и D_ji = P_ji / N_ji. Значения D ≤ 1 отбрасываются. Заметим, что D_ji = 1/ D_ij (и наоборот), таким образом, вычисления можно несколько упростить.

Рассмотрим, для примера, проекты 2 и 4 (i = 2, j = 4). По критерию «Цена» (вес критерия — 5 баллов) проект 2 хуже проекта 4; по критерию «Комфортность» (вес — 4 балла) проект 2 лучше проекта 4; по критерию «Скорость» (вес — 3 балла) проект 2 хуже проекта 4; по критерию «Дизайн» (вес — 3 балла) проект 2 лучше проекта 4. Таким образом, имеем:
P ₂₄ = 0 + 4 + 0 + 3 = 7;
N ₂₄ = 5 + 0 + 3 + 0 = 8;
D ₂₄ = P ₂₄/ N ₂₄ =7/8 = 0.875 < 1 — отбрасываем;

P ₄₂ = 5 + 0 + 3 + 0 = 8;
N ₄₂ = 0 + 4 + 0 + 3 = 7;
D ₄₂ = P ₄₂/ N ₄₂ =8/7 = 1/0.875 = 1.14 > 1 — принимаем.

Рассмотрим, для примера, проекты 1 и 2 (i = 1, j = 2). По критерию «Цена» проект 1 хуже проекта 2; по критерию «Комфортность» проекты 1 и 2 одинаковы, поэтому ничего не делаем; по критерию «Скорость» проект 1 лучше проекта 2; по критерию «Дизайн» проекты 1 и 2 одинаковы, поэтому ничего не делаем. Таким образом, имеем:
P ₁₂ = 0 + 0 + 3 + 0 = 3;
N ₁₂ = 5 + 0 + 0 + 0 = 5;
D ₁₂ = P ₁₂/ N ₁₂ =3/5 = 0.6 < 1 — отбрасываем;

P ₂₁ = 5 + 0 + 0 + 0 = 5;
N ₂₁ = 0 + 0 + 3 + 0 = 3;
D ₂₁ = P ₂₁/ N ₂₁ =5/3 = 1/0.6 = 1.67 > 1 — принимаем.

Все остальные пары рассчитываются аналогично.

Составляем матрицу, внося вычисленные (и принятые) значения D. Матрица имеет смысл предпочтений проектов между собой. Для нашего примера матрица выглядит следующим образом (см. табл. 3).

Задаемся порогом принятия решения, например C = 1.33, и оставляем в матрице те числа, которые больше или равны значению порога C. Таким образом, матрица разрежается (см. табл. 4).

По матрице строится граф предпочтений (см. рис.1). Из графа, построенного по табл. 36.13, видно, что проект 1 лучше проектов 4, 5, 7; проект 2 лучше проектов 1, 3, 7; проект 3 лучше проекта 7; проект 4 лучше проектов 3, 6, 7; проект 5 лучше проектов 3, 6, 7; проект 6 лучше проекта 2.

Рис. 1. Вид графа предпочтений для случая порога принятия решений C = 1.33

Очевидно, что решение не получено, так как в графе присутствуют петли. Например, 2 лучше 1, 1 лучше 5, 5 лучше 6, 6 лучше 2. Назначим порог отбора предпочтений C = 1.4 (это соответствует тому, что мы попробуем учесть только более сильные связи в графе, не отвлекаясь на малозначимые расхождения в проектах). Таким образом, матрица еще разрежается. В ней остаются только самые сильные связи (см. табл. 5).

По матрице строится граф предпочтений (см. рис. 2). По графу и табл. 36.14 видно, что проект 1 лучше проектов 4, 5, 7; проект 2 лучше проектов 1, 7; проект 3 лучше проекта 7; проект 4 лучше проектов 3, 7; проект 5 лучше проектов 3, 7; проект 6 лучше проекта 2. Как видим из рис. 36.6, при C = 1.4 граф получился в таком виде, в котором он легко приводится к ЯПФ, следовательно, решение получено.

Рис. 2. Вид графа предпочтений для случая порога принятия решений C = 1.4

Петель в графе нет, при этом граф остался целостным. Решение говорит нам о том, что лучший проект — 6. На втором месте — проект 2, на третьем месте — проект 1, четвертое и пятое место делят проекты 4 и 5, на шестом месте — проект 3, на седьмом месте — проект 7.

Поиск по сайту: