АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Простейшая вариационная задача (ПВЗ), исследование необходимых условий экстремума первого порядка

Читайте также:
  1. I. 3.1. Двойственная задача линейного программирования
  2. II. Исследование пульса, его характеристика. Места определения пульса.
  3. II.2. Задача о назначениях
  4. II.4. МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ В ЗАДАЧАХ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
  5. IIІ Исследование функций
  6. V. Объективное исследование больного.
  7. V2: ДЕ 53 - Способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
  8. VI. Общая задача чистого разума
  9. ZTRFRATE (ЗП.ТС.Ставки первого разряда)
  10. А. РАСЧЕТ ГРАФИКОВ ПОДАЧИ ТЕПЛОТЫ В СИСТЕМЫ ОТОПЛЕНИЯ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ПОГОДНЫХ УСЛОВИЙ
  11. Адаптивная полиномиальная модель первого порядка
  12. Анализ технических требований чертежа, выявление технологических задач и условий изготовления детали

Определение. Простейшей вариационной задачей называется следующая задача:

f(x)= ∫[a; b] L(t, x(t),x'(t))dt → extr, x(a)=x1, x(b)=x2, x∈C1[a, b], (6.1.1)

где L – гладкая функция трёх независимых переменных (t, x, x'), называемая лагранжианом задачи.

Обозначим

M={C1[a, b] | x(a)=x1, x(b)=x2 }. (6.1.2)

Множество M является аффинным пространством, поэтому простейшую вариационную задачу можно рассматривать как задачу без ограничений. Поскольку функционал f - композиция оператора Немыцкого и интегрального оператора, он является непрерывно дифференцируемым. Следовательно, для нахождения решения задачи (1) можно воспользоваться необходимым условием экстремума Df(x0)=0.

Теорема 6.1.1. Если функция L – непрерывна вместе с ее частными производными Lx и Lx' в окрестности расширенного графика функции x0

G(x0, ε) = {(t, x, y) | t∈[a, b], |x0(t)–x|<ε, |x'0(t)–y|<ε},

то функционал f непрерывно дифференцируем в окрестности точки x0, причем

Df(x0) h = ∫[a; b] Lx(t, x0(t),x0'(t)) h(t) + Lx ' (t, x0(t),x0'(t)) h'(t) dt. (6.1.3)

Доказательство основывается на теореме о дифференцировании композиции для линейного ограниченного интегрального оператора и оператора Немыцкого (см. пункт 5.4 и формулу (5.4.2)).

Согласно необходимому признаку экстремума в задачах без ограничений для отыскания точек экстремума необходимо уметь решать уравнение Df(x)=0, которое означает, что Df(x)h=0 для всех h∈M0={C1[a, b] | h(a)=0, h(b)=0} (M0 – векторное пространство, присоединенное к аффинному пространству M).

Лемма (Дюбуа-Реймон, Эйлер). Пусть c(t), d(t) – непрерывные функции на [a,b] и для всех h∈M0={C1[a, b] | h(a)=0, h(b)=0} выполняется равенство

[a; b] c(t)h(t) + d(t) h'(t) dt = 0. (6.1.4)

Тогда d(t)∈C1[a, b] и d'(t)= c(t) на [a,b].

Доказательство. Обозначим C(t) = ∫[a; t] c(s) ds.

Тогда ∫[a; b] c(t)h(t)dt = ∫[a; b] (C(t))'h(t)dt = C(t)h(t) |ab - ∫[a; b] C(t)h'(t)dt = - ∫[a; b] C(t)h'(t)dt,

т.е. из (6.1.4) получаем, что ∫[a; b] {d(t) - C(t)}h'(t)dt = 0 для всех h∈M0.

Осталосьпоказать, что если функция f(t)∈C[a,b] и для всех h∈M0 выполняется условие ∫[a; b] f(t)h'(t)dt=0, то f(t) ≡ const (тогда f(t) = d(t) – C(t) ≡ d(t) - ∫[a; t] c(s) ds ≡ const).

Пусть f = 1/(b-a) [a; b] f(t)dt, тогда ∫[a; b] {f(t) -f}dt = 0.

Обозначим h0(t) = ∫[a; t] {f(s) - f}ds, тогда выполняется условие h0∈M0, следовательно, ∫[a; b] f(t)h0'(t)dt = ∫[a; b] f(t){f(t) - f}dt = 0. Используем равенство ∫[a; b]{f(t) - f}dt = 0. Вычитая из первого второе, получаем: ∫[a; b]{f(t) - f}2dt = 0. Поскольку f(t) – f ∈C[a,b], получаем f(t) – f ≡ 0, или f(t) ≡ f = const.

Теорема 6.1.2 (уравнение Эйлера). Если L, Lx и Lx' – непрерывные функции, x*(t) – точка экстремума в задаче (6.1.1), то x* удовлетворяет уравнению Эйлера:

d/dt Lx ' (t, x*(t),x*'(t)) = Lx (t, x*(t),x* '(t)). (6.1.5)

Доказательство. Запишем уравнение Df(x)h=0, используя формулу (6.1.3). Применяем лемму Эйлера (в нашем случае c(t)=Lx(t, x(t)*, x* '(t)), d(t)=L x’ (t, x(t)*, x* '(t))). В итоге получается формула (6.1.5).

Определение. Решение уравнения Эйлера для заданной простейшей вариационной задачи называется экстремалью этой задачи. Экстремали, удовлетворяющие ограничениям задачи, называются допустимыми экстремалями.

Таким образом, согласно теореме 6.1.2, для того, чтобы функция была решением простейшей вариационной задачи, необходимо, чтобы она являлась допустимой экстремалью этой задачи.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)