АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Оптимизация резервов механообрабатывающих производств

Читайте также:
  1. A) Количественный прирост используемых факторов производства.
  2. A) товаров и услуг, средств производства
  3. B) Компенсация непредвиденных затрат в процессе производства продукции.
  4. B) Широкая самостоятельность первичных хозяйственных звеньев сферы материального производства.
  5. Cопоставление совокупных расходов и объемов производства. Крест Кейнса. Механизм достижения равновесного объёма произврдства
  6. F полезности и ее оптимизация
  7. I Расходы на производство и реализацию
  8. I. Затраты на управление и обслуживание строительного производства
  9. I. Отпуск запасов в производство
  10. I. СРЕДСТВА ПРОИЗВОДСТВА
  11. II. Дисциплинарные производства в отношении сотрудников правоохранительной службы
  12. II. УКАЗАНИЯ ПО ТЕХНОЛОГИИ ПРОИЗВОДСТВЕННОГО ПРОЦЕССА

 

Возможности комплексного использования методов математического и имитационного моделирования при решении задач оптимального резервирования будут рассматриваться нами на примерах механообрабатывающих и сборочных производств, составляющих важнейший класс среди машиностроительных подразделений. В настоящей главе объектом исследования являются многопоточные механообрабатывающие системы, производственно-технологическая структура которых изображена на рис.5.1.

Через Ai обозначены участки производственной системы, состоящие в свою очередь из отдельных звеньев. Работа отдельного звена производ-

 

ственного участка строится по принципу: потребление исходного сырья или полуфабрикатов - обработка полуфабрикатов - поставка готовой продукции потребителю.

Горизонтальные стрелки указывают на ход технологического процесса. Обозначим через Uij - вариант использования имеющихся производственных ресурсов в j-м звене i-го производственного участка, Zij - связанные с этим вариантом затраты, qij* - время запаздывания поступления полуфабрикатов в соответствующее звено из участка Аi-1выпуска продукции этим звеном, qij - время запаздывания выпуска продукции этим звеном, W - величина штрафных санкций.

Будем полагать, что в результате обработки продукции, поступающей на обработку в j-ое звено i-го участка, стоимостью Sij* создаётся продукция стоимостью Sij. Тогда совокупная стоимость продукции, поступающей на обработку в звенья участка увеличивается в процессе обработки на величину собственных затрат звеньев, то есть

.

В рационально резервируемой экономической системе потери от нестабильности полностью определяются штрафами за "задолженную стоимость", в среднем возмещаются затраты на резервировании по системе в целом. При этом величина штрафных санкций обычно принимается пропорциональной среднему времени недопоставки продукции и её стоимости: W=bSq, где b - коэффициент пропорциональности.

Выработка стратегии оптимального резервирования сводится к нахождению такой совокупности вариантов использования ресурсов его звеньев, при которых оказывается наименьшей сумма собственных затрат, при которых оказывается наименьшей сумма собственных затрат системы и потерь от нестабильности её функционирования.

Возникает проблема минимизации функции затрат и потерь с целевой функцией

 

,

 

При условии выполнимости ограничений, (1)

 

 

где n - число участков, k i - число звеньев в каждом участке.

Последнее равенство носит обобщающий характер, поэтому для локализации рассуждений заметим, что:

 

; .

 

Для решения задачи (1) процесс системной оптимизации может быть описан уравнениями Беллмана [5.1]:

;

; (2)

.

 

При этом, как отмечалось раньше, функции штрафов Wi имеют вид:

 

.

 

Проведение системной оптимизации представляется весьма затруднительным, если информация о функциях Fij недостаточна.

Вполне естественной является гипотеза [5.2] о постоянстве относительного прироста затрат на резервирование на процент уменьшения времени недопоставки звеном продукции (при неизменном характере поставок полуфабрикатов из предыдущего участка). При достаточно малых aij Львовым Ю.А. и Сатановским Р.Л получено уравнение

 

,

 

где Cij - константа.

Предполагая, что qij -случайная величина, а "несоответствие" значений Zij реальному положению дел определяется аддитивным независимым случайным слагаемым hij, получим случайную величину

 

. (3)

 

Далее рассмотрим, каким образом зависят результаты решения задачи (1) от распределения qij и значений Cij и aij. Назовем такую постановку задачи исследованием "устойчивости экономико-математической модели от характера исходных данных".

Анализ случайной величины qij (далее q - без индексов, так как будем рассматривать работу только одного звена) указывает на то, что плотность ее распределения, по-видимому, должна описываться асимметричным графиком с одним пиком, определенным для аргумента tÎ[0, ¥). Действительно распределения, определенные на всей действительной оси малопригодны - невероятно, что мы в состоянии выполнить работу за сколь угодно большой срок до планового момента. (Это может означать, что работа будет выполнена ещё не начавшись, то есть за отрицательное время.) Значит, существует некоторый момент времени, предшествующий плановому, который объявляется самым ранним сроком выполнения работ. (Возможно, что он и является плановым моментом.) Далее этот момент t=0. Одновременно с этим, время запаздывания не может быть неограниченно большим, следовательно, функция плотности должна быть быстро убывающей (например, порядка e-Ct) начиная с некоторого момента t.

По характеру задача достаточно близка к статистическим моделям, описывающим длительность безотказной работы компонентов или систем. Если рассматривать запаздывание как процесс появления h независимых однородных событий с одной и той же интенсивностью l (например, выполнения h одинаковых операций, невыполненных к плановому сроку), то время q в теории надежности принято описывать с помощью гамма-распределения (распределения Эрланга) с плотностью:

(4)

Здесь Г(h) -обозначение гамма-функции. (Примеры различных законов распределений, которым может подчиняться случайная величина q приведены в Таблице 5.1)

Если q имеет характер величины, получаемой в результате умножения эффектов, то наиболее удобной представляется модель с логарифмически-нормальным распределением. Плотность распределения имеет вид

где s, e, m - параметры распределения. Этот подход представляется удачным, например, если запаздывание связано с эффектами, касающимися объемов работ, обуславливаемыми случайными колебаниями объемов в результате поломок оборудования, поступления некачественных полуфабрикатов и т.д. Такие воздействия имеют мультипликативный характер при влиянии на q, а значит, логнормальное распределение можно предположить наиболее адекватным [5.3.].

В теории надежности рассматривают функцию, дающую вероятность отказа системы за очень короткий промежуток времени при условии, что до этого отказов не было. Эта функция- интенсивность отказов - имеет вид

 

,

 

где f(t) -плотность распределения, F(t) -функция распределения длительности безотказной работы. В нашем случае назовем подобную функцию функцией интенсивности окончания запаздывания. (см. Таблица 5.2.)

Во многих случаях неадекватность рассматриваемых распределений обусловлена ограничительным допущением об интенсивности окончания запаздывания. В случаях, когда вероятность окончания запаздывания меняется с течением времени необходимы другие распределения. Например, распределение, имеющее функцию интенсивности в виде

 

 

носит название распределения Вейбулла. Его плотность имеет вид

 

 

где s -параметр масштаба, h -параметр формы.

Причиной запаздывания срока окончания работ может являться запаздывание в выполнении N отдельных работ, производимых в исследуемом звене. Предполагая, что отдельное запаздывание описывается случайной величиной, имеющей распределение "типа экспоненты" (например, распределение Эрланга, нормальное), при достаточно больших N можно предложить рассматривать в качестве статистической модели для q так называемое распределение экстремальных значений (распределение Гумбеля) с плотностью

 

.

Действительно, окончание работы звена произойдет лишь в случае окончания последней манипуляции в этом звене, а указанное распределение является асимптотическим распределением максимальных значений [5.4.].

Вероятно, что возможны и иные статистические модели, например, модель с полунормальным распределением, определенном на множестве tÎ[0, ¥), модель бета-распределения для оценивания времени запаздывания, часто используемая в сетевом планировании и т. д.. Однако, проводимые при исследованиях, описанных в [5.2] модельные эксперименты указывают на близость эмпирических результатов к рассмотренным выше моделям с распределениями Эрланга, логарифмически-нормального и Вейбулла. Сводка возможных распределений приведена в таблице 5.1.

Для анализа величины Zij -затрат в звене, предполагая случайный характер времени запаздывания q рассмотрим дисперсию первого из независимых слагаемых в (3). Для величины

 

 

в случае Эрланговского распределения q плотность будет иметь вид

 

 

(Формула верна, если a¹1.)

Для построения адекватных моделей, в которых рассматриваются случайные величины необходимо исследовать значения степени разброса возможных значений. В случае, если дисперсия, а именно она является характеристикой разброса значений около среднего, окажется значительной, это будет означать неточность приводимых далее использующих эту величину выкладок, и, как следствие, неадекватность модели. Незначительные значения дисперсии позволяют с большим доверием относится к усреднённым значениям величины, однако не снимают ответственность за проведение проверки адекватности модели.

В нашем случае (Эрланговского распределения) дисперсия определится как

 

.

 

Рассмотрим дисперсию как функцию от переменных a - эластичности времени недопоставки по затратам и l - интенсивности окончания отдельных работ в звене. (см. Рис. 5.1).

Большие значения дисперсии величины затрат Z указывают на большой риск в использовании рассматриваемой схемы (3) в дальнейших исследованиях. Заметим, что если h-2/a<0, дисперсия не определяется в виду расходимости соответствующего интеграла! Исследование поверхности указывают на возможность такого сочетания a и l, при которых использование (3) приводит к неадекватности модели. При очень малых a схема становится неадекватной при увеличении интенсивности окончания работ. Но очень малое a требует для выполнения необходимого условия h-2/a>0, достаточно большого h. Если h достаточно велико, а интенсивность l мала, то так как в модели Эрланга Mq = h/l, среднее время запаздывания оказывается значительным, что может быть неприемлемо в технологическом процессе.

Рассмотрим иную статистическую модель распределения времени запаздывания. Пусть q имеет логарифмически нормальное распределение, тогда Z распределено с плотностью

 

 

Дисперсия такой величины определяется как

 

 

Рассматривая дисперсию как функцию от a и s заметим, что при ограниченном a и возрастающем s дисперсия DZ возрастает со скоростью порядка exp(Ks2), при ограниченном s и возрастающем a дисперсия DZ убывает.

Таким образом, области значений параметров, при которых схема оказывается неадекватной, имеют более простую форму, что упрощает исследование точности модели. Однако слишком большая скорость возрастания дисперсии DZ при незначительном увеличении параметра s делает данную модель чрезмерно чувствительной.

Необходимо указать на следующую особенность. Выразив DZ через статистические оценки первых центральных моментов распределения q в рассматриваемых моделях (например, через статистики и -несмещенной дисперсии) получим, что значения DZ отличаются при некоторых достаточно правдоподобных значениях и в сотни(!) раз.

Действительно, одинаково правдоподобные модели приводят к принципиально отличающимся результатам.

При исследовании случая, когда в качестве статистической модели распределения принимается распределение Вейбулла, возникают технические сложности. Укажем лишь на тот факт, что при ha<1 модель является заведомо неадекватной ввиду расходимости интегралов при вычислении моментов распределения Z.

Далее в этом разделе под знаками q и Z мы будем подразумевать не случайные величины, а их средние значения, если это не оговорено отдельно[2].

Согласно результатам, полученным в [5.2], оптимальное решение экономико-математической модели (2) определится следующей системой уравнений:

 

.

 

Заметим, что здесь и

Пусть минимальная величина затрат, необходимая для обеспечения стационарного режима соответствующего звена. При этом под стационарным понимается такой режим, при котором звено в процессе работы наращивает нестабильность поставщиков (характеризуемую, напоминаем, временем ) на величину некоторой собственной нестабильности dij. Тогда

 

.

 

Отсюда можно найти значение коэффициента Cij, и получить

 

.

 

Пользуясь известными аналитическими методами, подробно изложенными в [5.2], можно прийти к равенству

 

Величина равна затратам на резервирование звена, нейтрализующим его внутреннюю нестабильность dij. однако эти затраты в соответствии с введенной в рассмотрение функцией штрафов приблизительно равны b dij (мы нейтрализуем этими затратами внутреннюю нестабильность звена dij, ориентируясь на стоимость поставляемой продукции .) Получаем окончательный результат

 

.

 

Экономический смысл полученного равенства заключается в том, что при оптимальном резервировании нашей производственной системы необходимо придерживаться принципа равномерного резервирования. Другими словами, суммарные потери на выходе различных участков должны быть равны между собой.

Полученные результаты указывают на необходимость тщательного изучения величин, используемых в оптимизационной модели и имеющих случайный характер. Действительно, при некоторых значениях параметров распределения времени запаздывания в различных моделях (с распределением Эрланга и логнормальным) решаемая оптимизационная задача в одном случае становится неадекватной, в другом –статистически оправданной.

Для уменьшения модельного риска представляется необходимым следующий план исследования:

-сбор статистических данных для построения интересующей статистики на конкретном производстве;

-проверка гипотезы об однородности этих данных во времени;

-проверки гипотез о виде распределения и значений моментов исследуемой выборки;

-анализ наиболее предпочтительных распределений.

 


Таблица 5.1. Плотности распределения времени запаздывания.

Распределение Плотность Характеристики
Гамма -распределение с параметрами h и l   Mx=h/l Dx=h/l2 moda=(h–1)/l
Экспоненциальное   Mx=1/l Dx=1/l2 moda=0
Логарифмически нормальное   Mx=exp(m+s2/2) Dx=exp(2m+s2)(exp(s2)–1)  

 


 

Распределение Примечание
  График плотности с Mx=1,5, Dx=1  
    График плотности с Mx=1,5, Dx=2,25 (пунктиром- график плотности гамма-распределения с Mx=1,5, Dx=1)  
    График плотности с Mx=1,5, Dx=1 (пунктиром- график плотности гамма-распределения с Mx=1,5, Dx=1)  

 


Таблица 5.1. Плотности распределения времени запаздывания.(продолжение)

Распределение Плотность Характеристики
Вейбулла   Mx=sГ(1/h+1) Dx=s2{Г(2/h+1)– –(Г(2/h+1))2}  
Экстремальных значений (максимальных) (распределение Гумбеля)     Mx=m+0.5776 Dx=1.645s2 moda=m
Полунормальное     Mx=0.798s Dx=0.363s2 moda=0

 

Распределение Примечание
    График плотности с Mx=1,5, Dx=1 (пунктиром- график плотности гамма-распределения с Mx=1,5, Dx=1)  
  График плотности с Mx=1,5, Dx=1 (пунктиром- график плотности гамма-распределения с Mx=1,5, Dx=1)  
    График плотности с Mx=1,5, Dx=1,28258 (пунктиром- график плотности гамма-распределения с Mx=1,5, Dx=1)  

Таблица 5.1. Плотности распределения времени запаздывания.(продолжение)

Распределение Плотность Характеристики
Релея     Mx=(s2p/2)0.5 Dx=0.429s2 moda=s2

 

 

Таблица 5.2. Интенсивность окончания запаздывания

Распределение запаздывания График интенсивности h(t)
Гамма-распределение параметры l=0,2, h=0.5; l=0,2, h=1 (экспоненциальное распределение); l=0,2, h=1.5; l=0,2, h=2.      
Логарифмически-нормальное распределение m=0, s=0,5: m=0, s=1; m=1, s=0,5; m=1, s=1;      

 

Распределение Примечание
    График плотности с Mx=1,5, Dx=0,6145 (пунктиром- график плотности гамма-распределения с Mx=1,5, Dx=1)  

 

Таблица 5.2. Интенсивность окончания запаздывания (продолжение)


1 | 2 | 3 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.014 сек.)