Решение задачи об оптимальном выборе потребителя

Кривые безразличия графически отражают систему предпочтений потребителя. Естественно потребитель стремится приобрести товарный набор, принадлежащий наиболее удаленной от начала координат кривой безразличия. Однако это не всегда возможно, так как потребительское поведение ограничивается средствами, которыми он располагает.

Если обозначать рыночные цены блага x через p_х, а блага y через p_y, а его доход через I, то бюджетное ограничение потребителя можно записать в виде уравнения .

Доход потребителя равен сумме его расходов на покупку товаров x и y.

Преобразуем уравнение и получим уравнение бюджетной линии, которая имеет вид прямой линии (рис. 19). Чем выше доход, тем дальше от начала координат находится линия бюджетного ограничения:

Рис. 19 - Бюджетная линия Рис. 20 - Оптимальный выбор

потребителя

Пусть заданы линия бюджетного ограничения и несколько кривых безразличия. Какой товарный набор выбирает потребитель?

Оптимум потребителя будет в точке С (рис. 20). В рамках бюджетного ограничения индивид постарается так распределить свой доход между различными благами, чтобы максимизировать полезность u. Соответствующий набор благ называется оптимальным планом потребления и обычно обозначается точкой касания бюджетной линии и кривой безразличия.

Задача об оптимальном наборе имеет вид:

Решение этой задачи на условный экстремум находится при помощи метода множителей. Оптимальный набор определяется путем решения следующей системы из (n + 1) уравнения

относительно (n + 1)-го неизвестного, а именно элементов оптимального набора (,…, ) и множителя Лагранжа .

Таким образом, при заданной системе цен потребитель должен выбрать такой набор, в котором все предельные полезности пропорциональны ценам. При этом оптимальное значение множителя Лагранжа часто называют предельной полезностью денег и трактуют как прирост максимальной полезности при увеличении дохода I на малую единицу.

Пример. Пусть n = 2, функция полезности u(x₁, x₂) = ln x₁ + ln x₂, бюджетное ограничение .

Решение задачи оптимального выбора

отсюда

Используя бюджетное ограничение, имеем

Как видно из приведенного решения, оптимальный выбор потребителя имеет очень естественный вид: количество потребляемого блага прямо пропорционально доходу (I) и обратно пропорционально его цене. Геометрическая интерпретация решения задачи оптимального выбора приведена на рис. 20.

В более реалистичных вариантах постановки задачи оптимального выбора при помощи дополнительных условий могут быть учтены ограничения по ассортименту потребляемых товаров и услуг, возможность взаимной замены различных продуктов и т.п.

Поиск по сайту: