|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Критерий Сильвестра
1. Квадратичная форма положительно определена, если все главные миноры матрицы (1) являются положительными. В этом случае в точке – минимум. 2. Квадратичная форма отрицательно определена, если все главные миноры нечетного порядка являются отрицательными, а четного порядка – положительными. В этом случае в точке – максимум.
В частном случае функции двух переменных достаточные условия существования строгого экстремума можно сформулировать следующим образом.
Теорема 2* (достаточные условия существования экстремума функции двух переменных) Пусть функция в стационарной точке имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Если , , и , то возможны три случая: 1) при – точка экстремума, причем, в точке максимум, когда , и минимум, когда ; 2) при не является точкой экстремума; 3) при о характере стационарной точки никакого заключения сделать нельзя, нужны дополнительные исследования. Пример 2. Исследовать на экстремум функцию . Решение. Найдем стационарные точки функции. Для этого вычислим первые частные производные:
Приравнивая их к нулю, получим систему Решениями системы являются две стационарные точки: и . Для выяснения их характера согласно теореме 2* найдем и , вычислив предварительно значения частных производных второго порядка. Для точки имеем , , и . На основании теоремы 2* делаем вывод, что в точке функция экстремума не имеет. Для точки соответственно получаем , , , . Следовательно – точка экстремума, а поскольку , то – точка максимума и максимальное значение функции . Пример 3. Найти локальные экстремумы функции . Решение. , . Получили две стационарные точки и . Вычислим вторые частные производные: , , , , , . Рассмотрим матрицу Гессе в стационарных точках. В точке , . Необходимо дополнительное исследование. В точке , . В этой точке функция достигает минимума . Рассмотрим приращение функции в точке : . 1) Пусть , , тогда . 2) Пусть , , тогда . Экстремума в точке нет. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.) |