 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Определение распределения Пуассона, его свойства и связь с распределением Эрланга и экспоненциальным распределением
Случайная величина n, принимающая значения из множества E={0,1,2,...,n,...}, называется случайной величиной, распределенной по закону Пуассона с параметром l>0, если
.
Таким образом, пуассоновское распределение это однопараметрическое дискретное распределение (в отличие от непрерывных распределений Эрланга и экспоненциального, имеющих плотности). Для математического ожидания, второго момента и дисперсии этого распределения имеют место равенства
Отметим одно важное свойство распределения Пуассона - сумма n, 1<n<¥, независимых случайных величин, распределенных по закону Пуассона, распределена по закону Пуассона с параметром, равным сумме параметров распределений слагаемых. Очевидно, что достаточно доказать это утверждение при n=2. Пусть nk, k=1,2 две независимые случайные величины, распределенные по закону Пуассона с параметрами l и m соответственно. Тогда по формуле полной вероятности имеем
. (1.9)
Теперь установим связь между распределением Пуассона и распределением Эрланга. Обозначим через Ak(t)={hk<t}, k>0, событие, состоящее в том, что на интервале (0,t) уложится по крайней мере k интервалов, длины которых xs, s=1,2,…, являются независимыми случайными величинами, распределенными по экспоненциальному закону с одинаковыми параметрами. Так как по определению 
, то в ранее принятых обозначениях имеем равенство P{Ak(t)}=Fk(t). В силу того, что случайные величины xk положительны, между событиями Ak(t)={hk<t}, k>0 справедливы соотношения Ak(t)ÉAk+1(t), то есть выполнение события Ak+1(t) влечет за собой выполнение события Ak(t). Тогда
Ak(t)= Ak+1(t)È{hk<t,hk+1³t},
причем события, стоящие в правой части этого равенства несовместны. Следовательно, с учетом определения (1.6) получаем
. (1.10)
Событие {hk<t,hk+1³t} означает, что на интервале (0,t) уложится ровно k интервалов случайной длины, распределенной по экспоненциальному закону. Равенство (1.10) доказывает, что число независимых интервалов случайной длины, распределенной по экспоненциальному закону с одним и тем же параметром l, которые укладываются в интервал (0,t), распределены по закону Пуассона с параметром lt.
Поиск по сайту: