Определение процесса восстановления

Математическая модель, которая в математической литературе [1,2,4,5] получила название процесс восстановления, является частным случаем случайного процесса (случайного потока однородных событий) x(t), для которого область значений есть неотрицательные целые числа E={0,1,...,n,...}, x(t)ÎE, и все траектории являются неубывающими ступенчатыми функциями. Такой случайный процесс можно задать, задавая совместное распределение случайной последовательности {t_n=t_n(w), 1£n<¥}, которая определяет моменты скачков, номер n задает номер скачка случайного процесса x(t) [5, стр.27]. Отметим, что это распределение может быть таково, что с положительной вероятностью совпадают моменты t_n(w) при различных n. Следовательно, не исключается случай, когда траектории случайного процесса x(t) имеют скачки, большие единицы (группа единичных скачков), а нумерация скачка в группе не является существенной.

Итак, определим случайный процесс x(t) как число скачков, произошедших до момента t (при таком определении траектории процесса непрерывны слева). Очевидно, что процесс x(t) можно задать, задавая совместное распределение случайной последовательности

{x_n=t_n-t_n-1, t₀=0, 1£n<¥}

интервалов между моментами соседних скачков. При этом, учитывая предыдущее замечание о величине скачков, не исключается случай, когда с положительной вероятностью случайная величина x_n равна нулю, P{x_n=0}>0, то есть функция распределения случайной величины x_n может иметь положительный скачок в нуле.

Теперь перейдем к частным определениям.

Ступенчатый случайный процесс x(t), определяемый последовательностью {x_n=t_n-t_n-1, t₀=0, 1£n<¥}, называется потоком с ограниченным последействием, если случайные величины {x_n, 1£n<¥} взаимно независимы.

Из этого определения следует, что в момент скачка случайного процесса x(t), если известен номер скачка, будущее поведение этого процесса в вероятностном смысле не зависит от прошлой траектории. Из определения следует также, что, для того чтобы задать поток с ограниченным последействием, достаточно задать последовательность функций распределения F_k(t)=P{x_k<t}, k>0, для которых F_k(t)=0 при t£0 (в силу неотрицательности интервалов x_k).

Поток с ограниченным последействием, для которого при t>0

F_k(t)=F(t), k=2,3,..., F₁(t)¹ F(t) (2.1)

называется рекуррентным потоком с запаздыванием или процессом восстановления с запаздыванием. Из определения процесса восстановления с запаздыванием следует, что он задается парой функций распределения {F₁(t),F(t)} - распределением интервала до первого скачка и распределением всех последующих интервалов.

Поток с ограниченным последействием, для которого F_k(t)=F(t), k=1,2,….., называется рекуррентным потоком или простым процессом восстановления. Таким образом, часто простой процесс восстановления можно определить как последовательность независимых положительных одинаково распределенных случайных величин, задаваемых распределением F(t), F(0)=0.

Теперь можно пояснить принятую терминологию. Предположим, что имеется набор идентичных элементов, времена жизни которых x_k распределены по одному и тому же закону F(t). В момент времени t₀=0 включается в работу первый элемент, а в момент его отказа t₁=x₁ он мгновенно заменяется (восстанавливается) на новый идентичный элемент. Далее новый элемент функционирует до календарного момента t₂=x₁+x₂ – момента отказа второго элемента, затем мгновенная замена на следующий элемент и так далее. Таким образом, получаем модель замен (восстановлений), которая называется процессом восстановления, а последовательность {t_n=t_n(w), 1£n<¥} называется последовательностью моментов восстановления.

Используя выше приведенную терминологию, далее будем исследовать случайные процессы x(t) и x₁(t), определяемые как число восстановлений, произошедших до момента t, t³0, простого процесса восстановления и процесса восстановления с запаздыванием соответственно.

Поиск по сайту: