Контрольные задания. 1. В кошельке 8 монет: одна - 15 коп., три по 10 коп., три по 5 коп

Вариант 1

1. В кошельке 8 монет: одна - 15 коп., три по 10 коп., три по 5 коп. и одна - 1 коп. Вынимают две монеты. Найти вероятность того, что в сумме будет меньше 17 копеек.

2. Из колоды в 52 карты 6 раз извлекают по одной карте (каждый раз карту возвращают в колоду). Что вероятнее: 3 раза извлечь карту красной масти или два раза извлечь туз?

3. Из полного набора домино извлекают одну кость. Найти распределение, среднее и дисперсию числа очков на этой кости.

4. Известна дифференциальная функция распределения:

Требуется найти неизвестный коэффициент а, вычислить математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания X в интервал (0,p/2), построить графики интегральной и дифференциальной функций.

5. Считая, что X - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти a, M(X), D(X), P(ïX-M(X)ï<2).

Вариант 2

1. На 10 карточках написаны числа от 0 до 9. Последовательно вытягивают 3 карточки. Найти вероятность того, что полученное число будет больше 300 и четное.

2. Один преподаватель принимает зачет с положительным исходом с вероятностью 0.8, а другой с вероятностью 0.4. Студент знает, что его шансы попасть ко второму преподавателю 0.7. Найти вероятность того, что студент сдаст зачет.

3. В ящике 3 белых и 5 черных шариков. Из ящика последовательно извлекают 4 раза по одному шарику и запоминают его цвет (каждый раз шарик возвращают обратно). Найти распределение, среднее и дисперсию числа белых шариков.

4. Известна дифференциальная функция распределения:

Требуется найти неизвестный коэффициент а, вычислить математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания X в интервал (0,1), построить графики интегральной и дифференциальной функций.

5. Считая, что X - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти a, M(X), D(X), P(-0.5<X<2.5).

Вариант 3

1. Найти вероятность того, что при размещении семи различных шаров по десяти большим различным ящикам ровно 4 ящика останутся пустыми.

2. Фальшивую монету (вероятность выпадения "герба" - 0.6) бросают 8 раз. Найти вероятность того, "герб" выпадает более двух раз.

3. Одновременно бросают игральную кость и монету, если на монете выпал "герб", то к сумме очков на кости прибавляют 2. Найти распределение, среднее и дисперсию числа очков, выпавших в результате эксперимента

4. Известна дифференциальная функция распределения:

Требуется найти неизвестный коэффициент A, вычислить математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания X в интервал (1,2), построить графики интегральной и дифференциальной функций.

5. Считая, что X - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти a, M(X), D(X), P(ïXï>3).

Вариант 4

1. На 10 карточках написаны числа от 0 до 9. Последовательно вынимают 3 карточки и укладывают в ряд. Найти вероятность того, что полученное таким образом число делится на 20.

2. Каждое утро экстрасенс, выходя из дому, бросает монету. Если выпадет "герб", то он берет с собой зонтик, иначе выходит без него. При этом, если он выходит из дома с зонтом, то дождь идет с вероятностью 0.3, а если без зонта - то с вероятностью 0.8. Найти вероятность того, что он попадет под дождь.

3. Из колоды в 52 карты наугад извлекают 3 карты. Найти распределение, среднее и дисперсию числа извлеченных тузов.

4. Известна дифференциальная функция распределения:

Требуется найти неизвестный коэффициент а, вычислить математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания X в интервал (0,3), построить графики интегральной и дифференциальной функций.

5. Считая, что X - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти a, M(X), D(X), P(0<X<5).

Вариант 5

1. 6 шаров раскладываются по трем большим ящикам. Найти вероятность того, что в первом ящике будет в два раза больше шаров, чем во втором.

2. Пять раз одновременно бросают игральную кость и монету. Найти вероятность того, что "шестерка" и "герб" одновременно выпадут не более одного раза.

3. В ящике 4 белых и 6 черных шариков. Достают четыре шарика. Найти распределение, среднее и дисперсию числа белых шариков.

4. Известна дифференциальная функция распределения:

Требуется найти неизвестный коэффициент а, вычислить математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания X в интервал (0,p/2), построить графики интегральной и дифференциальной функций.

5. Считая, что X - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти a, M(X), D(X), P(-3<X<0).

Вариант 6

1. Карточки, на которых написаны буквы "р", "а", "д", "о", "с", "т", "ь", раскладывают в ряд в случайном порядке. Найдите вероятность того, что при этом слово "радость" не сложится.

2. Есть две монеты - одна правильная (с вероятностью выпадения "герба" 1/2), а другая фальшивая (с вероятностью выпадения "герба" 2/3). Проделывают следующий опыт: сначала бросают правильную монету, если выпал "герб", то правильную монету бросают еще раз, а если "решетка", то бросают фальшивую монету. Найти вероятность того, что всего выпадет ровно 1 "герб".

3. Одновременно бросают игральную кость и монету, если на монете выпал "герб", то к сумме очков на кости прибавляют 2. Найти распределение, среднее и дисперсию числа очков, выпавших в результате эксперимента.

4. Известна дифференциальная функция распределения:

Требуется найти неизвестный коэффициент а, вычислить математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания X в интервал (0,2), построить графики интегральной и дифференциальной функций.

5. Считая, что X - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти a, M(X), D(X), вероятность того, что при трех независимых испытаниях X дважды попадет в интервал (0,2).

Вариант 7

1. Колода в 52 карты раскладывается в линию. Найти вероятность того, что красные с черные карты чередуются.

2. Из колоды в 52 карты 7 раз извлекают карту (каждый раз вытащенную карту возвращают в колоду). Найти вероятность того, что бубновую карту вытаскивали ровно 3 раза.

3. В ящике 3 белых и 5 черных шариков. Из ящика последовательно извлекают 4 раза по одному шарику и запоминают его цвет (каждый раз шарик возвращают обратно). Найти распределение, среднее и дисперсию числа белых шариков.

4. Известна дифференциальная функция распределения:

Требуется найти неизвестный коэффициент а, вычислить математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания X в интервал (0,p/6), построить графики интегральной и дифференциальной функций.

5. Считая, что X - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти a, M(X), D(X), P(-2<X<3).

Вариант 8

1. Из карточек с числами от 0 до 9 последовательно выбирают 2. Найти вероятность того, что сумма чисел на карточках делится на три.

2. Завод использует детали, поступающие с трех фабрик, при этом первая фабрика поставляет 30% деталей, вторая - 50%, а третья - 20%. При этом по дороге с первой фабрики портится 20% деталей, со второй - 10%, а с третьей - 40%. Найти вероятность того, что случайно выбранная деталь окажется испорченной.

3. Из полного набора домино извлекают одну кость. Найти распределение, среднее и дисперсию числа очков на этой кости.

4. Известна дифференциальная функция распределения:

Требуется найти неизвестный коэффициент а, вычислить математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания X в интервал (0,2), построить графики интегральной и дифференциальной функций.

5. Считая, что X - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти a, M(X), D(X), P(1.5<X<3).

Вариант 9

1. В каждом из 10 ящиков лежит по 5 шаров. Случайным образом выбирают ящик и из него вынимают один шар. Так повторяется 5 раз. Найти вероятность того, что в первом ящике останется 5 шаров.

2. Бросают правильную монету. Если выпал "герб", то игральную кость бросают 1 раз, а если выпала "решетка", то игральную кость бросают 2 раза. Найти вероятность того, что "единица" выпала ровно 1 раз.

3. Шахматист А держит пари, что выиграет хотя бы одну партию из 5 у шахматиста В. Вероятность выиграть для А в каждой партии равна 0.4. Шахматисты заканчивают свой матч после первой победы шахматиста А, но играют не более 5 партий. Найти распределение и среднее значение числа партий, которые проиграл А.

4. Известна дифференциальная функция распределения:

Требуется найти неизвестный коэффициент а, вычислить математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания X в интервал (-1,0), построить графики интегральной и дифференциальной функций.

5. Считая, что X - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти a, M(X), D(X), P(-10<X<3).

Вариант 10

1. Найти вероятность того, что у произвольно выбранного шестизначного числа последняя цифра больше 5, а первая равна 5.

2. В одном ящике 3 белых и 5 черных шариков, а в другом 4 белых и 4 черных шарика. Бросают монету, если выпал "герб" извлекают шарик из первого ящика, а иначе из второго. Найти вероятность того, что извлекли белый шарик.

3. В ящике 4 белых и 6 черных шариков. Достают четыре шарика. Найти распределение, среднее и дисперсию числа белых шариков.

4. Известна дифференциальная функция распределения:

Требуется найти неизвестный коэффициент а, вычислить математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания X в интервал (2,4), построить графики интегральной и дифференциальной функций.

5. Считая, что X - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти a, M(X), D(X), вероятность того, что при четырех независимых испытаниях X ни разу не попадет в интервал (0,2).

Вариант 11

1. На первом этаже 9-ти этажного дома в лифт вошло 6 человек, а на других этажах никто не входил. Найти вероятность того, что 2 человека вышли на восьмом этаже, а на других этажах выходили не более чем по одному человеку.

2. Настоящую и фальшивую монету (вероятность выпадения герба 2/3) бросают одновременно 10 раз. Найти вероятность того, что два "герба" одновременно выпадут не менее 8 раз.

3. Игральная кость бросается 2 раза. Найти распределение и среднее значение суммы выпавших очков.

4. Известна дифференциальная функция распределения:

Требуется найти неизвестный коэффициент а, вычислить математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания X в интервал (3p/4,p), построить графики интегральной и дифференциальной функций.

5. Считая, что X - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти a, M(X), D(X), P(-0.5<X<0.5).

Вариант 12

1. Из карточек с номерами 1,..., 15 выбирают 2 и полученные числа перемножают. Найти вероятность того, что произведение делится на 5.

2. В ящике 6 белых и 4 черных шарика. Что вероятнее: извлечь за 5 попыток 3 белых шарика или за 8 попыток 4 черных шарика (каждый раз вынутый шарик возвращается в ящик).

3. Из колоды в 52 карты наугад извлекают 3 карты. Найти распределение, среднее и дисперсию числа извлеченных тузов.

4. Известна дифференциальная функция распределения:

Требуется найти неизвестный коэффициент а, вычислить математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания X в интервал (5,6), построить графики интегральной и дифференциальной функций.

5. Считая, что X - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти M(X), D(X), вероятность того, что при трех независимых испытаниях X хотя бы один раз попадет в интервал (-2,3).

Вариант 13

1. На карточках написаны буквы слова "математика", случайным образом выбирают 4 буквы и составляют из них слово. Найти вероятность того, что в получившемся слове ровно 2 буквы совпадают.

2. В ящике 3 белых и 5 черных шариков. 5 раз из ящика берут шар и кладут его обратно. Найти вероятность того, что белый шар достали 3 или 4 раза.

3. Найти распределение и среднее значение числа выпадений герба в 6 бросаниях фальшивой монеты (вероятность выпадения герба 2/3).

4. Известна дифференциальная функция распределения:

Требуется найти неизвестный коэффициент а, вычислить математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания X в интервал (p/2,3p/4), построить графики интегральной и дифференциальной функций.

5. Считая, что X - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти a, M(X), D(X), P(-1<X<1).

Вариант 14

1. На карточках написаны буквы, входящие в слово "параллелепипед". По очереди берут две карточки. Найти вероятность того, что на первой карточке гласная, а на второй согласная.

2. На елке детям дарят зайцев и мишек, зайцев 40%, а мишек 60%. Среди зайцев 70% серого цвета, остальные белого, а среди мишек 60% коричневые, а остальные тоже белые. Ребенку досталась игрушка белого цвета. Найти вероятность того, что это заяц.

3. Найти распределение и среднее значение числа выпадений герба в 5 бросаниях монеты.

4. Известна дифференциальная функция распределения:

Требуется найти неизвестный коэффициент а, вычислить математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания X в интервал (1,3), построить графики интегральной и дифференциальной функций.

5. Считая, что X - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти a, M(X), D(X), P(0<X<2).

Вариант 15

1. Найдите вероятность того, что у произвольно выбранного пятизначного числа первая цифра больше последней.

2. Игральную кость бросают 8 раз. Что вероятнее: выпадение четного числа 5 раз или выпадение "тройки" не более одного раза.

3. Игральная кость, на гранях которой обозначены числа очков (1, 1, 1, 5, 5, 5), бросают 2 раза. Найти распределение и среднее значение суммы выпавших очков.

4. Известна дифференциальная функция распределения:

Требуется найти неизвестный коэффициент а, вычислить математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания X в интервал (0,2), построить графики интегральной и дифференциальной функций.

5. Считая, что X - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти a, M(X), D(X), P(-3<X<3).

Вариант 16

1. В кошельке 8 монет: 1 монета достоинством в 20 коп., 4 по 15 коп., 3 по 5 коп. Наугад вынимают 2 монеты. Найдите вероятность того, что в сумме будет меньше 21 коп.

2. Первоклассник копит монеты по 10 и 15 копеек, 70% его монет по 10 копеек. При этом среди десятикопеечных монет 10% юбилейные, а среди пятнадцатикопеечных 5% юбилейные. Наугад извлеченная монета оказалась юбилейной. Найти вероятность того, что это 15 копеек.

3. Два баскетболиста поочередно бросают мяч в корзину. Игра продолжается до тех пор, пока один из игроков не промахнется. Вероятность попадания в корзину для каждого игрока 0.8. Найти распределение числа бросков.

4. Известна дифференциальная функция распределения:

Требуется найти неизвестный коэффициент а, вычислить математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания X в интервал (-2,0), построить графики интегральной и дифференциальной функций.

5. Считая, что X - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти a, M(X), D(X), P(-2<X<2).

Вариант 17

1. Две игральные кости бросают 3 раза. Найдите вероятность того, что ровно 1 раз выпадет 9 очков в сумме.

2. В ящике 6 белых и 4 черных шарика. Что вероятнее: извлечь за 5 попыток 3 белых шарика или за 8 попыток 4 черных шарика (каждый раз вынутый шарик возвращается в ящик).

3. Баскетболист бросает мяч в корзину до первого промаха, но не более 6 раз. Вероятность промаха 0.1. Найти распределение и среднее значение числа неудачных бросков.

4. Известна дифференциальная функция распределения:

Требуется найти неизвестный коэффициент а, вычислить математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания X в интервал (0,4), построить графики интегральной и дифференциальной функций.

5. Считая, что X - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти a, M(X), D(X), P(1<X<4).

Вариант 18

1. В игре принимают участие 10 мальчиков и 12 девочек. Двоих водящих выбирают по очереди. Найти вероятность того, что оба водящих мальчики.

2. Завод получает 60% деталей с одной фабрики (10% брак) и 40% с другой (5% брак). Наугад выбранная деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первой фабрике.

3. Игральная кость бросается 2 раза. Найти распределение и среднее значение произведения выпавших очков.

4. Известна дифференциальная функция распределения:

Требуется найти неизвестный коэффициент а, вычислить математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания X в интервал (-3,-2), построить графики интегральной и дифференциальной функций.

5. Считая, что X - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти a, M(X), D(X), P(-1<X<2).

Вариант 19

1. Из колоды в 52 карты наугад вынимают 5. Найти вероятность того, что среди них черных карт больше, чем красных.

2. Игральную кость бросают 7 раз. Найти вероятность того, что "двойка" выпала не более одного раза.

3. Игральная кость бросается 2 раза. Найти распределение и среднее значение модуля разности выпавших очков.

4. Известна дифференциальная функция распределения:

Требуется найти неизвестный коэффициент а, вычислить математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания X в интервал (-p,-p/2), построить графики интегральной и дифференциальной функций.

5. Считая, что X - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти a, M(X), D(X), P(-0.1<X<0.4).

Вариант 20

1. В ящике А белых и В черных шаров. Последовательно вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что их цвета чередуются.

2. В одном ящике 3 белых и 5 черных шариков, а в другом 4 белых и 4 черных шарика. Бросают монету, если выпал "герб" извлекают шарик из первого ящика, а иначе из второго. Найти вероятность того, что извлекли белый шарик.

3. Баскетболист бросает мяч в корзину до первого промаха, но не более 6 раз. Вероятность промаха 0.1. Найти распределение и среднее значение числа удачных бросков.

4. Известна дифференциальная функция распределения:

Требуется найти неизвестный коэффициент а, вычислить математическое ожидание, дисперсию, вероятность попадания X в интервал (-p,0), построить графики интегральной и дифференциальной функций.

5. Считая, что X - нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти a, M(X), D(X), P(-3<X<3).

Литература

1. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика. М., «Гардарика»., 1998.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., 1969.

3. Виленкин Н.Я. Индукция. Комбинаторика. М., Просвещение, 1976.

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.,В.Ш., 1978.

5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., В.Ш., 1998.

6. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. М., Наука, 1982.

7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.II. М., 1969-1997 гг.

8. Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Элементы комбинаторики. М., Наука, 1977.

9. Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. Минск, 1976.

10.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Ч.II. М.,1960-1985.

Кропачева Наталья Юрьевна

Петросян Гаяне Артаховна

Элементы теории вероятностей

Методические указания
по изучению курса высшей математики

Поиск по сайту: