Геометрическая вероятность

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях неприменимо классическое определение вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Пусть отрезок l составляет часть отрезка L. На отрезок L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на l пропорционально длине l и не зависит от расположения l относительно L.

Вероятность попадания (.) в l: P=

На отрезок ОА длины L наудачу поставлена (.) В. Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую н/з.

О С В D А |CD|= 1/3= |OC|=|DA|

Требование задачи будет выполнено, если (.) В попадет в [CD].

P= |CD| / |OA|= 1/3

Аналогична площадь.

На плоскости начерчены две концентрические окружности радиусов 5 и 10 см. найти вероятность того, что (.), брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями.

S кольца = π( )= 75 π

S большого круга = π* =100 π

Р=75 π/100 π= 0,75

Задача о встрече: два студента условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами дня. Пришедший первым ждет второго 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает время прихода (в промежутке 12-13 часов)

Введем в рассмотрение прямоугольной системы координат XOY, 0 (0;0) – 12часов.

Благоприятствующие встрече значения координат (y-x) ≤1/4

S полосы = 4*4-2*(3*3/2)=16-9=7

S □ = 16

P = 7/16

Задача Бюффона (франц. естсествоиспытатель XVIII в.).

Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а. на плоскость наудачу бросают иглу длины 2l (l ≤ а). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-либо прямую.

u eG1sTI5PS8NAEMXvgt9hGcGL2E1TqSFmU0TUQz21Kuhtkh2T0OxsyG7T+O0dT3p8f3jvV2xm16uJ xtB5NrBcJKCIa287bgy8vT5dZ6BCRLbYeyYD3xRgU56fFZhbf+IdTfvYKBnhkKOBNsYh1zrULTkM Cz8QS/blR4dR5NhoO+JJxl2v0yRZa4cdy0OLAz20VB/2R2fgM/jw+L6tpufDbjvj1UtMP2przOXF fH8HKtIc/8rwiy/oUApT5Y9sg+oNpEspGlivb0BJnK6yFahKjNsMdFno//zlDwAAAP//AwBQSwEC LQAUAAYACAAAACEAtoM4kv4AAADhAQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNd LnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQA4/SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8u cmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQArBkKg8AEAAPQDAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJv RG9jLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQA/R9Kk3QAAAAcBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAEoEAABkcnMv ZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADzAAAAVAUAAAAA " strokecolor="#5b9bd5 [3204]" strokeweight=".5pt"> 2а 2l Введем следующие обозначения:
x- расстояние от середины иглы до ближайшей параллели, ϕ – угол, составленный иглой с этой параллелью.

Положение иглы полностью определяется заданием определенных значений от 0 до а, возможные значения ϕ – [0; π]. Другими словами, середина может попасть в любую из точек прямоугольника со сторонами а и π. Таким образом, этот прямоугольник – фигура, все точки которой – всевозможные положения середины иглы. S □ = πа

Теперь найдем фигуру, каждая точка которой благоприятствует интересующему нас событию, т.е. каждая точка этой фигуры может служить серединой иглы, которая пересекает ближайшую к ней параллель.

Как видно из рисунка, игла пересечет ближайшую к ней параллель при условии x≤l*sinϕ, т.е. середина иглы попадет в заштрихованную область под кривой х= l*sinϕ. Sд = ϕ= - *cosϕ = 2l

2 3HRmtvHgJdIV2tz2FDQHBbMcCT/sXViWUz1GPf8dpr8AAAD//wMAUEsDBBQABgAIAAAAIQAEI+ek 3wAAAAoBAAAPAAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sTI/LTsMwEEX3SPyDNUjsWsd5lBLiVKjQNVD4ADce 4pB4HMVuG/h63BUsR/fo3jPVZrYDO+HkO0cSxDIBhtQ43VEr4eN9t1gD80GRVoMjlPCNHjb19VWl Su3O9IanfWhZLCFfKgkmhLHk3DcGrfJLNyLF7NNNVoV4Ti3XkzrHcjvwNElW3KqO4oJRI24NNv3+ aCWsE/vS9/fpq7f5jyjM9sk9j19S3t7Mjw/AAs7hD4aLflSHOjod3JG0Z4OERbbKIiqhyAWwCKSF uAN2kJDlqQBeV/z/C/UvAAAA//8DAFBLAQItABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAATAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9If/WAAAAlAEA AAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9yZWxzLy5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAJVZALxBAgAAZQQA AA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9lMm9Eb2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAAQj56TfAAAA CgEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAAmwQAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMAAACnBQAA AAA= " filled="f" stroked="f">

Sд

Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в правильном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «книга».

Событие А – снова получилось слово «книга». Общее число случаев n=Р₅=1*2*3*4*5=120. Число благоприятствующих событию А случаев = m=1

Р(А)= 1/120

Круговая мишень состоит из трех зон: I, II и III. Вероятность попадания в I зону = 0,15; во II = 0,23; в III = 0,17. Найти вероятность промаха.

А – промах. Ᾱ - попадание.

Ᾱ= Ᾱ₁ + Ᾱ₂ + Ᾱ₃ = 0,55.

Р(А) = 1 – Р(Ᾱ) = 0,45.

Поиск по сайту: