Лекция №2 Уравнение неразрывности, уравнение сохранения энергии

Тема № 3 Основные уравнения газодинамики

Уравнение неразрывности

В условиях одномерного движения газа выделим в газовом потоке элемент в виде параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz (рисунок 1). Ось потока совпадает с осью 0х. Газ входит в середину параллелепипеда через левую грань площадью, dy·dz, а оставляетпараллелепипед через правую грань с такой же площадью. Остальные грани считает непроникаемыми.

Рисунок 1 – Неразрывность потока

Масса газа, вошедшая в середину параллелепипеда через левую грань за время

.

Масса газа, оставившая параллелепипед через правую грань за тоже время.

Изменение массы в середине параллелепипеда (материальный баланс):

,

где dρ – изменение плотности газа в середине параллелепипеда.

Из условия материального баланса получим

.

Разделив полученное выражение на объем параллелепипеда и промежуток времени dt, получим:

.

Произведение ρω называют массовой скоростью в отличие от линейной скорости элемента потока. Таким образом, в общем случае плотность и массовая скорость является функцией двух переменных: линейной координаты и времени. Поэтому уравнение неразрывности записывают в частичных производных:

.

Умножив и разделив левую часть уравнения на величину , получим:

.

Как известно, скорость распространения звуковой волны в газе определяется отношением:

.

где с- скорость звука в газе.

Учитывая предыдущее выражение, уравнение неразрывности можно представить в виде:

(1)

В условиях стационарного движения газа параметры потока постоянны во времени, поэтому , поэтому , то есть при стационарном движении газа массовая скорость постоянна по длине газопровода. Поскольку при перекачивании газа в результате падения его давления плотность по длине рассматриваемого участка уменьшается, то линейная скорость газа с приближением к концу газопровода должна возрастать.

Уравнение сохранения энергии

Уравнение энергии является выражением закона сохранения энергии в потоке сплошной среды. Общий принцип, положенный в его основу, можно сформулировать таким образом: суммарная энергия в газовом потоке (учитывая подведенное тепло и выполненную работу) не изменяется от сечения до сечения.

Рассмотрим поток газа с непроницаемой боковой поверхностью и выделим два сечения, перпендикулярные оси потока (рисунок 2). Пусть на пути от сечения 1-1 к сечению 2-2 подводится тепловая энергия Q и выполняется работа L (считается позитивной, если выполняется газом):

.

Рисунок 2 – Баланс энергий в потоке

Суммарную энергию в каждом сечении потока можно представить в виде суммы внутренней, кинетической и потенциальной энергии, причем последняя состоит из потенциальной энергии положения сечения над условным уровнем и потенциальной энергии давления (взаимного размещения молекул газа). Таким образом:

,

где U – внутренняя энергия, - кинетическая энергия, - потенциальная энергия.

Разделим все элементы на массу газа и получим уравнение энергии в общем виде:

(2)

где - удельная подведенная теплота, - удельная работа.

Величина является энтальпией природного газа ().

Если считать трубопровод горизонтальным, то получим:

.

Пренебрегая теплообменом, для случая, когда на пути перекачивания газ не выполняет никакой работы, можно записать:

Пускай поток набегает на неподвижную стенку. В этом случае скорость в сечении 2-2 равна нулю. То есть при известной температуре в сечении 1-1 для сечения 2-2 имеем:

.

Эту температуру называют температурой торможения и она всегда больше температуры в газовом потоке.

Рассмотрим процесс вытекания газа из ресивера в атмосферу через маленькое отверстие. Если известны энтальпии газа в каждом из сечений, то пренебрегая скоростью газа в ресивере, получим:

где i₀ и і_a – энтальпии в сечениях.

Учитывая энтальпию газа:

уравнение состояния газа можно записать как:

где v – удельный объем.

Тогда получим:

где - показатель адиабаты.

Выражая массовый расход газа в виде произведения линейной скорости, плотности и площади сечения отверстия получим:

(3)

Уравнение (3) называется формулой Сен-Венана – Вентцеля.

Зависимость массового расхода от отношения давлений имеет вид параболы (рисунок 3). Правая ветвь параболы несет четкое физическое содержание: при уменьшение отношения давлений массовый расход возрастает. Левая ветвь параболы не имеет физического содержания и практикой не подтверждается. Поэтому в точке максимума должно происходить качественное изменение характера движения газа. В этой точке линейная скорость газа достигает значения скорости звука в газе и ее дальнейшее увеличение невозможно, потому такое движение называют критическим.

Таким образом, при уменьшении отношения давлений от 1 до 0 при некотором значении достигается максимум массового расхода и далее он остается постоянным (рис. 3).

Рисунок 3 – Характер вытекания газа через отверстие в атмосферу

Для того, чтобы найти точку, соответствующую критическому вытеканию, необходимо решить уравнение:

Используя формулу Сен-Венана – Вентцеля (3) и считая, что для многоатомного газа показатель адиабаты k =1,4, получим:

При формула Сен-Венана – Вентцеля принимает вид:

(4)

Поиск по сайту: