АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Формула Тейлора для многочлена. Бином Ньютона

Читайте также:
  1. II Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
  2. III Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
  3. Антигенная структура бактерий. Групповые, ввдовые, типовые антигены. Перекрестнореагируюшие антигены. Антигенная формула.
  4. Б2 3.1 привести к каноническому виду данную бином форму
  5. Барометрическая формула
  6. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.
  7. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.
  8. Барометрическая формула. Распределение Больцмана.
  9. Бесконечная струна. Метод распространяющихся волн. Формула Даламбера.
  10. Билет 12 Различные уравнения прямой на плоскости, геометрический смысл параметров. Формула преобразования координат вектора при переходе к новому базису
  11. Биноминальное распределение
  12. Биография Ф.Тейлора

Напомним формулу для вычисления производных (любого порядка) степенной функции с натуральным показателем степени:

С помощью этой формулы установим связь между коэффициентами многочлена п ой степени

(1)

и производными самого многочлена в нуле. Запишем многочлен в виде

 

Первое слагаемое правой части после k –кратного дифференцирования обратится в ноль, а второе – в . Для третьего слагаемого имеем:

В этой сумме все показатели степени . Чтобы эта сумма обратилась в ноль, достаточно положить Итак, получим связь:

Отсюда вытекает формула, выражающая коэффициенты многочлена через производные самого многочлена:

(2)

Теперь многочлен (1) можно записать в форме

Напомним, что производная нулевого порядка – это сама функция.

Иногда требуется многочлен (1) записать не по степеням , а по степеням двучлена Нетрудно убедиться, что в этом случае коэффициенты вычисляются по формуле а сам многочлен можно записать в виде

Это и есть формула Тейлора для многочлена.

Из формулы (2) для коэффициентов многочлена (1) можно вывести два важных следствия.

Следствие 1. Рассмотрим два многочлена

и

Если то и откуда получим: а) степени многочленов равные – ; б) коэффициенты при одинаковых степенях переменной равные –

Следствие 2. Рассмотрим многочлен, представляющий собой степень бинома и запишем его в стандартной форме (1):

Коэффициенты вычислим по формуле (2):

Итак, мы получили т.н. формулу бинома Ньютона:

Числа обозначают и называют биномиальными коэффициентами. Так как , можно использовать компактную запись этих чисел:

Это число возникают в задачах комбинаторики, где они называются «числом сочетаний из по » и дают ответ на вопрос: «Сколькими способами можно выбрать предметов из предметов, если не важен порядок выбора?»

Пример. Запишем многочлен по степеням . В соответствии с формулой Тейлора имеем:

Здесь:

Итак,

 

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.005 сек.)