Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений линейных алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Пусть дана система уравнений

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид:

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из полученной ступенчатой системы.

При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:

1. умножение или деление коэффициентов свободных членов на одно и то же число;

2. сложение и вычитание уравнений;

3. перестановку уравнений системы;

4. исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю.

Матричный способ решения систем линейных уравнений, как и решение, методом Крамера, применим только для особых систем линейных уравнений, в которых количество неизвестных совпадает с количеством уравнений.

Метод Гаусса применим для решения произвольных систем линейных уравнений и, следовательно, является универсальным методом. Этот метод позволяет существенно упростить и сам процесс поиска решений, если все промежуточные преобразования осуществить над специальной матрицей B составленной из коэффициентов системы и ее свободных членов.

Пример 3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

Контрольные вопросы

1. Как записать простейшее матричное уравнение?

2. Как решить матричное уравнение?

3. Сформулируйте теорему Крамера.

4. Запишите формулы Крамера.

5. Опишите метод Гаусса.

6. В каком случае система не имеет решения?

7. В каком случае система имеет бесчисленное множество решения?