АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Свойства сходящихся последовательностей

Читайте также:
  1. F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .
  2. I. Размеры и тинкториальные свойства волокон
  3. II. Свойства векторного произведения
  4. III. Психические свойства личности – типичные для данного человека особенности его психики, особенности реализации его психических процессов.
  5. V2: Электрические и магнитные свойства вещества
  6. Аденовирусы, морфология, культуральные, биологические свойства, серологическая классификация. Механизмы патогенеза, лабораторная диагностика аденовирусных инфекций.
  7. Аксиомы ординалистского подхода. Функция полезности и кривые безразличия потребителя. Свойства кривых безразличия. Предельная норма замещения
  8. Акустические свойства голоса
  9. Акустические свойства горной породы.
  10. Акустические свойства строительных материалов
  11. Алгебраические свойства векторного произведения
  12. АЛГОРИТМ И ЕГО СВОЙСТВА

 

1. Единственность.

Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

 

2. Арифметические действия.

Теорема: Если последовательности {xn} и {yn} сходящиеся, причем и , тогда ; ; при условии .

 

3. Необходимое условие сходимости.

Теорема Больцано-Вейерштрасса:

Сходящаяся последовательность ограничена.

Док-во:

Пусть последовательность {хn} сходится Þ существует конечный предел Þ по определению: для "e > 0 $ номер N, начиная с которого .

Из неравенства: .

Выберем С=max { }.

Значит, для членов последовательности {xn} выполняется неравенство . Тогда по определению последовательность {xn} ограничена.

Ч.т.д.

 

4. Достаточные условия существования предела.

Определение: Последовательность {xn} называется возрастающей (неубывающей), если x1<x2<… (x1£x2£…).

Пример: 1<2<3<4<…, {xn} – возрастает.

1£1<2£2<3£3…, {xn} - неубывающая.

Определение: Последовательность {xn} называется убывающей (невозрастающей), если x1>x2>… (x1³x2³…).

Пример: 1>1/2>1/4>…, {xn} – убывающая.

1³1/2³1/2>1/3³1/3>…, {xn} - невозрастает.

Теорема1: Если последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то она имеет конечный предел.

Теорема2: Если последовательность монотонно убывает и ограничена снизу, то она имеет конечный предел.

Док-во:

Докажем теорему 1.

{xn} возрастет Þ x1<x2<….

{xn} ограничена сверху Þ существует число М такое, что при "n xn М. Отступим от М на e, тогда существует номер N, начиная с которого

М-e< xn М.

xn

М

 

М-e

 

0 1 2 3 4 n

Усилим правую часть неравенства:

М-e< xn<М+e, т.е. .

Значит, для "e > 0 $ номер N, начиная с которого справедливо

. Þ . Þ по определению: {xn} сходится.

Теорема 2 доказывается аналогично.

Ч.т.д.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |


При использовании материала, поставите ссылку на Студалл.Орг (0.005 сек.)