Способ вспомогательных сфер. Применение в качестве вспомогательных кривых поверхностей основано на следующем свойстве: две соосные поверхности вращения (имеющие общую ось) пересекаются по

Применение в качестве вспомогательных кривых поверхностей основано на следующем свойстве: две соосные поверхности вращения (имеющие общую ось) пересекаются по окружностям, плоскости которых перпендикулярны оси вращения (рис. 103). В качестве вспомогательных применяют обычно сферические поверхности. Если центр сферы находится на оси тела вращения, то сфера с ним соосна и пересекает его по окружностям. При этом, если ось тела параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость окружности проецируются: в отрезки, что весьма удобно, так как обеспечивает точные построения.

Рис. 103

Способ сфер применим в случаях, когда пересекающиеся поверхности имеют общую плоскость симметрии.

Для тел вращения с пересекающимися осями посредниками служат сферы с общим центром в точке пересечения их осей — способ концентрических сфер.

Если оси тел вращения не пересекаются или одно из тел не является телом вращения, но имеет круговые сечения, то применяют способ эксцентрических сфер.

1. Способ концентрических сфер

Как мы уже сказали, центры вспомогательных сфер лежат в точке пересечения осей.

Каждая вспомогательная сфера пересекает оба тела по окружностям, которые легко строятся на чертеже. Точки взаимного пересечения этих окружностей лежат на искомой линии пересечения тел, так как принадлежат одновременно обоим заданным телам.

Пример. Построить линию пересечения поверхности тора и наклонного кругового цилиндра (рис. 104).

Ход решения. Контурные (очерковые) образующие заданных тел вращения лежат в одной фронтальной плоскости и поэтому точки их пересечения 1, 2, 3, 4 определяются без каких-либо построений. Точку пересечения осей заданных тел О принимаем за центр вспомогательных сфер. Наименьшая сфера, которую можно использовать для построения, должна быть вписана в одно из тел, но при этом обязательно пересекать другое, т. е. это должна быть сфера, вписанная в более широкое тело (в данном случае таким телом является тор). Тор и сфера R_min пересекаются по окружности (рис. 104), цилиндр с этой же сферой пересекается по двум окружностям i. Взаимное пересечение окружностей υ и i определяют точки 5, 6, 7, 8 линии пересечения тора и цилиндра.

Максимальная сфера, участвующая в определении точек пересечения, должна иметь радиус, равный расстоянию от центра О до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих тел. Это точка 2. Но так как 2, определяется и без помощи вспомогательной сферы R_мах, то как правило эту сферу при построениях не проводят. Определяют R_mах и все вспомогательные сферы проводят радиусами в пределах от R_min до R_mах. Например, на рис. 104 проведена сфера V. С ее помощью получены точки 9, 10, 11, 12, 13, 14. Разберитесь в построениях самостоятельно. Полученные таким образом точки соединяют плавной кривой линией. В данном примере мы имеем случай проницания одного тела другим, поэтому кривая пересечения распалась на две: кривую входа и кривую выхода.

Горизонтальные проекции этих двух кривых строят из условия принадлежности их точек окружности тора, так как на П₁ они проецируются без искажения.

Точки видимости 13, 14, 15, 16 определяются на П₂ пересечением осевых образующих цилиндра с линиями пересечения. На П₁ они лежат на очерковых образующих цилиндра и делят кривые на видимые и невидимые участки. После установления видимости кривой пересечения на П₁ определяется видимость очерков тел (поверхностей).

Рис. 104

2. Способ эксцентрических сфер.

В этом случае различные центры выбираются на оси тела вращения так, чтобы сферы проходили через заранее намеченные круговые сечения второго тела.

Пример. Построить линию пересечения поверхностей тора и конуса (рис. 105).

Рис. 105

На торе семейство окружностей лежит на плоскостях, проходящих через ось тора. Это означает, что по окружности и, лежащей в плоскости ω, тор могут пересекать только те сферы, центры которых будут составлять геометрическое место точек, равноудаленных от точек этой окружности. Таким местом является прямая i, перпендикулярная плоскости окружности и проходящая через ее центр. (Аналогично относительно окружностей, лежащих в плоскостях ω’,...). Чтобы вспомогательные сферы пересекали конус по окружности, их центры должны одновременно лежать на оси конуса, т.е. центры О, О’... вспомогательных сфер лежат в точках пересечения оси конуса с прямыми i, i’,.... Вот почему способ и называется способом вспомогательных эксцентрических сфер. Радиусы для каждой сферы также различны. В каждом случае они равны расстоянию от центра О, О’... до точки пересечения контуров тора и плоскостей.

А теперь перейдем непосредственно к построению линии пересечения на примере рис. 105. Точки 1 и 2 получаются в пересечении контуров тора и конуса, так как они лежат в одной фронтальной плоскости. Эта плоскость и является общей плоскостью симметрии тел.

Чтобы получить любую пару промежуточных точек линии пересечения, рассечем тор, например, плоскостью ω. Для окружности u ее пересечения с тором в центре проведем прямую, перпендикулярную ω. Пересечение i и оси конуса определяет центр О вспомогательной сферы. Радиус ее R равен расстоянию от О до пересечения контура тора и ω. Проведем сферу с центром О радиусом R. Она пересекает конус по окружности υ. Пересечение окружностей υ и u определяет точки 3, 4 искомой линии пересечения. Аналогично строится сколь угодно много таких пар точек, например 5, 6. Полученные точки соединяются плавной кривой.

3. Особые случаи пересечения. Теорема Монжа

В частных случаях линия пересечения поверхностей второго порядка может распадаться на плоские кривые. Это положение известно как теорема Монжа:

Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка, или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка.

Примеры.

§ Два цилиндра одинаковых диаметров, наклоненные друг к другу под любым углом, пересекаются по плоскому эллипсу (рис. 106). В месте их взаимного пересечения они описаны около одной и той же сферы. Теорема Монжа очень важна при конструировании трубопроводов. Два плоских среза труб под заданным углом позволяют точно их соединить.

Если мысленно продлить эти цилиндры, то налицо окажется и второй плоский эллипс пересечения.

Рис. 106

§ Построить линию пересечения одновременно трёх поверхностей; двух цилиндров и конуса, описанных около сферы (рис. 107).

Начнем построение между отдельными парами пересекающихся поверхностей. Два цилиндра, если их продлить, пересекаются по плоскому эллипсу V. Левый цилиндр и конус пересекаются по эллипсу U. Плоские срезы V и U полностью определяют форму левого цилиндра. Правый цилиндр и конус пересекаются по эллипсу W. Плоские срезы V и W определяют форму правого цилиндра. А срезы U и W – конуса. Все три эллипса U, V, W пересекаются в точках R и R’.

Рис. 107

Поиск по сайту: