|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Частица в трехмерной потенциальной яме. В реальном мире частицы совершают движение в трехмерном пространствеВ реальном мире частицы совершают движение в трехмерном пространстве. Эвристический вывод уравнения Шредингера применительно к движению амплитуд вероятности в трехмерном пространстве можно сделать аналогично проведенному выше анализу. Уравнение Шредингера при этом принимает вид: iћ = ( + + )+U(x,y,z)Y, (44) или iћ = Ñ2Y+U(x,y,z)Y, (45) Повторим описание состояний частицы в случае трехмерной бесконечно глубокой потенциальной ямы. Положим, что яма имеет форму куба с ребром равным b и частица не может проникнуть сквозь стенки ямы. Процедура описания состояний в общих чертах повторяет описание одномерной ситуации. Опишем стационарные состояния. В стационарном состоянии зависимость волновой функции от времени имеет вид: Y(x, y, z, t)=y(x, y, z)×exp{–i }. (46) Подстановка данной зависимости в уравнение (45) дает: Ey=– ( + + )+Uy. (47) Необходимо найти зависимость y(x, y, z) внутри ямы, где U=0. Техника решения уравнения (47) содержит новый элемент – разделение переменных. В основе метода лежит предположение, что функция y(x, y, z) представляет собой произведение трех функций, каждая из которых зависит только от одной координаты: y(x, y, z)=X(x)Y(y)Z(z). (48) После подстановки данного пробного решения в (55) получаем: E X×Y×Z=– (Y×Z +X +X×Y ). (49) Поделим обе части уравнения (49) на X×Y×Z, тогда оно приведется к такому виду: + + =– . (50) В уравнении (50) содержится одна важная идея. Каждое из слагаемых в левой части уравнения (50) зависит только от одной переменной. Их сумма равна постоянной величине. В силу независимости слагаемых можно сделать вывод, что такое возможно только при условии, что каждое слагаемое равно постоянной величине. Для унификации и придания большей физической осмысленности математической процедуре, обозначим эти постоянные через – 2mEx/ћ2, –2mEy/ћ2, – 2mEz/ћ2. Их сумма должна равняться правой части уравнения (50), т.е. – 2mE/ћ2. Итак, получаем три уравнения: =– , =– , =– , которые можно переписать в более знакомом виде: + X = 0, (51) + Y=0, (52) + Z=0. (53) Таким образом, мы пришли к трем уже решенным ранее задачам. Каждое решение: X(x), Y(y), Z(z) характеризуется своим волновым числом, через которое выражаются постоянные Ex, Ey, Ez: kx= nx; ky= ny; kz= nz, (54) Ex= ; Ey= ; Ez= . (55) Целые числа nx, ny, nz являются квантовыми числами состояния частицы. Они являются полными характеристиками стационарного состояния (можно сказать, являются полным именем состояния: “Эн-икс Эн-игрекович Эн-зетов”). Квантовые числа дают энергетический спектр частицы: E=Ex+Ey+Ez= (n +n +n ). (56) Полная волновая функция частицы в яме имеет вид: Y(x, y, z, t)=a×sin kxx×sin kyy×sin kzz exp{–i }, (57) Y(x, y, z, t)=a×cos kxx× cos kyy× cos kzz exp{–i }. (58) Это стоячая волна амплитуды вероятности. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |