 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов
Если решение дифференциального уравнения нельзя выразить через элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком сложен, то для приближённого решения уравнения можно воспользоваться степенным рядом. Рассмотрим два способа решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.
Способ последовательного дифференцирования.
Пусть требуется решить уравнение
у ¢¢ = f (x, y, y ¢), (13.20)
решение которого удовлетворяет начальным условиям
y (х0) = y 0, y ¢ (х0) = y¢ 0 (13.21)
Решение данного уравнения найдём в виде ряда Тейлора:
(13.22)
В котором первые два коэффициента сразу определяются из начальных условий (13.21). Подставив в уравнение (13.20) значения х = х 0, y = y 0, y ¢ = y¢ 0, находим третий коэффициент 
Путём последовательного дифференцирования уравнения (13.20) и вычисления производных при х = х 0 найдём значения 
Найденные значения производных (коэффициентов) подставляем в разложение (13.22), которое представляет искомое частное решение уравнения (13.20) для тех значений х, при которых он сходится. Частичная сумма ряда, стоящего в правой части (13.22) и будет приближённым решением исходного дифференциального уравнения.
Метод неопределённых коэффициентов.
Этот способ приближённого решения удобен для интегрирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Пусть требуется решить уравнение:
у ¢¢ + р (х) у ¢ + q (x) y = f (x), (13.23)
с начальными условиями х = х 0, y = y 0, y ¢ = y¢ 0.
Искомое решение ищем в виде степенного ряда с неопределёнными коэффициентами
(13.24)
предполагая, что функции р (х), q (x) и f (x) разлагаются в сходящиеся к ним степенные ряды.
Коэффициенты а0 и а1 находим из начальных условий:
а0 = y 0, а1= y¢ 0.
Последующие коэффициенты разложения (13.24) находим, дифференцируя равенство (13.24) два раза (каков порядок уравнения) и подставляем выражения для функции у и её производных в исходное уравнение (13.23), заменив в нём р (х), q (x), f (x) их разложениями. В результате получается тождество, из которого определяются недостающие коэффициенты методом неопределённых коэффициентов. Полученный ряд имеет тот же интервал сходимости и служит решением уравнения (13.23)
Сводная таблица по теме: «Дифференциальные уравнения»
Поиск по сайту: