Особенности организации системы заданий при изучении тождественных преобразований

Основной принцип организации любой системы заданий – предъявление их oт простого к сложному с учетом необходимости преодоления учениками посильных трудностей и создания проблем­ных ситуаций. Указанный основной принцип требует конкретиза­ции применительно к особенностям данного учебного материала. Для описания различных систем заданий в методике математики используется понятие цикла упражнений. Цикл упражнений характе­ризуется соединением в последовательности упражнений несколь­ких аспектов изучения и приемов расположения материала. По отношению к тождественным преобразованиям представление о цикле может быть дано следующим образом.

Цикл упражнений связан с изучением одного тождества, вокруг которого группируются другие, тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В состав цикла наряду с исполнительными входят задания, требующие распознавания применимости рассмат­риваемого тождества. Изучаемое тождество применяется для прове­дения вычислений на различных числовых областях. Учитывается специфика тождества; в частности, организуются связанные с ним обороты речи.

Вторая группа упражнений связывает изучаемое тождество с различными приложениями. Эта группа не образует композиционного единства – упражнения здесь разбросаны по различным темам.

Описанная структура цикла относится к этапу формирования навыков применения конкретных видов преобразований. На заклю­чительном этапе – этапе синтеза циклы видоизменяются. Во-первых, объединяются обе группы заданий, образующие «развернутый» цикл, причем из первой группы исключаются наиболее простые по форму­лировкам или по сложности выполнения задания. Оставшиеся типы заданий усложняются. Во-вторых, происходит слияние циклов, от­носящихся к различным тождествам, в силу чего повышается роль действий по распознаванию применимости того или иного тождества.

Приведем конкретный пример цикла.

Пример 1. Цикл заданий для тождества

Выполнение первой группы заданий этого цикла происходит в следующих условиях. Ученики только что ознакомились с фор­мулировкой тождества (вернее, с двумя формулировками: «Разность квадратов двух выражений равна произведению суммы и разности данных выражений» и «Произведение суммы и разности двух выра­жений равно...»), его записью в виде формулы, доказательством. После этого приведено несколько образцов использования основан­ного на этом тождестве преобразования; в число разобранных примеров, в частности, могут входить примеры, аналогичные при­веденным ниже. Наконец, ученики приступают к самостоятельному выполнению упражнений.

Первая группа заданий

а) Представить в виде произведения: a₁) a ² – b²; а₂) с ² – 5²; а₃) 121 – k ².

б) Проверить верность равенства (100+ 1) ∙ (100 – 1)= 10000 – 1.

в) Раскрыть скобки в выражении (4 ху + х ²) ∙(4 ху – х²),

г) Вычислить: г₁) 49 ∙ 51; г₂) 25² – 24²; г₃) (10⁴ – 1) ∙ (10⁴+1).

д) Разложить на множители: д₁) k² – р²; д₂) 16 (ab)² – 9 c ²; д₃) х ⁴ – у ⁴.

е) Упростить выражение (a+b)² – (a – b)².

Вторая группа заданий

ж) Используя тождество при разложить на мно­жители многочлен х ² – 5.

з) Исключить иррациональность в знаменателе дроби

и) Доказать, что если k – нечетное число, то k² – 1 делится на 4.

к) Функция задана аналитическим выражением

Избавиться от знака модуля, рассмотрев два случая:

л) Решить уравнение

В целом задания первой группы ориентированы на усвоение структуры тождества, операции замещения в простейших, принци­пиально наиболее важных случаях, и представления об обратимости преобразований, осуществляемых тождеством. Очень важное значе­ние имеет также обогащение языковых средств, показывающих раз­личные аспекты тождества. Представление об этих аспектах дают тексты заданий; учителю необходимо специально обращать на них внимание учеников.

Основные особенности и цели, раскрытые нами при рассмотрении первой группы заданий приведенного цикла, относятся к любому циклу упражнений, формирующему навыки использования тож­дества. Несмотря на то что по мере изучения материала курса алгебры и в дальнейшем, в курсе алгебры, происхо­дит постепенное формирование элементов алгебраической культуры, для любого вновь вводимого тождества первая группа заданий в цикле должна сохранять описанные здесь особенности; различия могут быть только в количестве заданий, на которых учитель рас­сматривает те или иные особенности изучаемого тождества. В отличие от первой вторая группа заданий в цикле направлена на возможно более полное использование и учет специфики именно данного тождества.

Задания второй группы предполагают уже сфор­мированные навыки использования изучаемого тождества для раз­ности квадратов (в наиболее простых случаях); цель заданий этой группы – углубить понимание тождества за счет рассмотрения раз­нообразных приложений его в различных ситуациях, в сочетании с использованием материала, относящегося к другим темам курса математики.

Отметим особенности циклов заданий, связанных с тождествами для элементарных функций. Эти особенности обусловлены тем, что, во-первых, соответствующие тождества изучаются в связи с изучением функционального материала и, во-вторых, они появляются позже тождеств первой группы и изучаются с использованием уже сформированных навыков проведения тождественных преобразований.

Каждая вновь вводимая элементарная функция резко расширяет область чисел, которые могут быть обозначены и названы индивидуально. Поэтому в первую группу заданий циклов должно войти задания на установление связи этих новых числовых областей с исходной областью рациональных чисел. Приведем примеры таких заданий:

Пример. Вычислить

1) дробное число (m – целое, n – натуральное).

2) m и n – рациональные числа.

Поиск по сайту: