 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Тема: «Кубические уравнения»
Тип урока: факультатив
Продолжительность урока: 45 минут
Цель: Формирование знания решения кубических уравнений
Задачи:
Обучающие:
· Познакомить с теорией способов решения кубических уравнений
· Создать условия для формирования мотивации выбора математики для последующего углубленного изучения.
Развивающие:
· Развивать навык решения целых-рациональных уравнений
· Развивать функцию памяти — воспроизведения и внимательность при поиске ошибок
· Развивать умение самостоятельно работать и применять знания на практике, контролировать и оценивать результаты своих действий
Воспитательные:
· Формировать привычку оказывать помощь товарищам в учении
· Воспитывать привычку своевременного выполнения любой нужной работы и чувство ответственности за выполненную работу
План урока:
| № | Этап урока | Время | Задачи этапа |
| Организационный момент. | 1 мин | Сообщение темы урока, постановка цели урока, сообщение этапов урока. | |
| Отработка умений и навыков | 6 мин | Повторить основные кубические равенства, развить умение у учащихся преодолевать трудности в учебе | |
| Объяснение нового материала | 18 мин | Познакомить учащихся с новыми понятиями, сформировать умения решений кубических уравнений (двучленные уравнения и метод Кардано) | |
| Закрепление нового материала | 15 мин | Сформировать умение решать двучленные кубические уравнения и с помощью формул Кардано; развивать умение анализировать решение уравнений. | |
| Итог урока | 4 мин | Обобщение знаний, полученных на уроке | |
| Домашнее задание | 1 мин | Инструктаж по домашнему заданию |
Ход урока:
8. Организационный момент
Вступительное слово учителя.
Приветствие учеников, сообщаю цель, задачи занятия, план работы на занятии.
9. Подготовка к основному этапу занятия
Работа с карточками. Подпишите карточку “Найдите ошибки”. В заданиях данной карточки специально допущены ошибки.
Карточка №1 “НАЙДИ ОШИБКИ”
Фамилия ___________________
1.Решение уравнений
1) х3 = 8 2) х3 = - 8 3) 
х = ± 2 нет корней х=±27
2. Применение формул сокращенного умножения
(3х+2)3=27х3+18х2+36х+8
(1-8b)3=13-24b-192b2-b3
8a3+27b3 =(2a+3b)(4a2-12ab+9b2)
23- у3 =(2-у)(4+4у+у2)
На одной из створок доски записаны правильные результаты. Ученики проверяют самостоятельно каждый у себя.
10. Изучение нового материала.
В начале шестнадцатого века многие математики бились над решением алгебраических уравнений третьей степени. Решения линейных и квадратных уравнений были известны уже в античности, а вот кубические уравнения долго не поддавались. Значительные продвижения были сделаны итальянским математиком Джероламо Кардано, который в результате своих изысканий открыл комплексные числа (также Кардано известен как автор первых трудов по теории вероятности и изобретатель карданного вала).
Правда, решить кубическое уравнение ему так и не удалось. В некоторый момент он познакомился с другим итальянским математиком Тартальей, который умел решать кубические уравнения. Кардано узнал от Тартальи секрет решения этих уравнений, обещав нигде его не публиковать. Но в 1543 году Кардано узнал, что независимо от Тартальи; причем раньше него, кубическое уравнение было решено Сципионом дель Ферро. В итоге в 1545 году формулы дель Ферро были опубликованы Кардано в трактате «Высокое Искусство», где он упомянул обоих математиков, их открывших. Но Тарталья был обижен фактом опубликования и впоследствии доставил Кардано множество проблем (Татралье удалось упрятать Кардано на несколько месяцев за решетку и лишить профессорского звания).
О решении кубических уравнений у нас и пойдет речь.
Кубические уравнения- это уравнения вида ax3+bx2+cx+d=0
Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень, два других либо также действительные, либо являются комплексно сопряженной парой.
Начнем обзор с простейших случаев.
Решение двучленного кубического уравнения. ax3+b=0
Это уравнение приводится к виду 
делением на коэффициент a, отличный от нуля. Далее применяется формула сокращенного умножения сумма кубов:
Пример. 1)Найти действительные корни кубического уравнения 
Решение. 
Применяем формулу сокращенного умножения разность кубов: 
Из первой скобки находим 
, квадратный трехчлен во второй скобке не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.
Ответ:
2) 124х3-3х2-3х-1=0
Куб суммы (х+1)3=х3+3х2+3х+1
-(х+1)3=-х3-3х2-3х-1
Теперь обратим внимание на исходное уравнение 125х3-х3-3х2-3х-1=0
(5х)3-(х+1)3=0
(5х-х-1)(25х2+5х(х+1)+(х+1)2)=0
(4х-1)(31х2+7х+1)=0
4х-1=0 при х=0,25
31х2+7х+1=0 не имеет действительных корней, так как дискриминант отрицательный.
Решите самостоятельно х3+6х2+11х+6=0 с использованием (х+1)3=х3+3х2+3х+1. Ответ: -3, -2,-1.
Метод Кардано
х3+a2x2+a1x+a0=0
x=y- 
такая замена освобождает уравнение от квадрата неизвестного
Рассмотрим пример х3+3х2+9х+9=0
х=у-1
(у-1)3+3(у-1)2+9(у-1)+9=0
у3-3у2+3у-1+3у2-6у+3+9у-9+9=0
у3+6у+2=0
Представим у=u+v
(u+v)3+6(u+v)+2=0
u3+v3+3(u+v)(uv+2)+2=0
t2+2t-8=0
t1=2 t2=-4 
y= 
x= 
Пример: х3+6х2+15х+16=0
х=у-2
(у-2)3+6(у-2)2+15(у-2)+16=0
у3-6у2+12у-8+6у2-24у+24+15у-30+16=0
у3+3у+2=0
у=u+v
(u+v)3+3(u+v)+2=0
u3+v3+(u+v)(3uv+3)+2=0
t2+2t-1=0
D1=1+1=2
t=-1±√2 
5. Итог урока
6. Домашнее задание: самостоятельно подготовить возвратные кубические уравнения, привести 3 примера.
Решить: 2х3-11х2+12х+9=0
4+3х-х2+5х3=0
Поиск по сайту: