АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Основні поняття і визначення

Читайте также:
  1. I. Основні риси політичної системи України
  2. II. Поняття соціального процесу.
  3. IV Алергії, її основні форми
  4. XIV. 7. Вимірювання електрорушійних сил. Застосування методу вимірювання ЕРС для визначення різних фізико – хімічних величин
  5. Акти застосування права: поняття, ознаки, види, структура
  6. Акцизний податок: поняття, платники, об'єкт, підакцизна продукція.
  7. Б) Основні властивості операцій над множинами
  8. Бази даних, їх призначення та основні елементи.
  9. Базові поняття
  10. Блок визначення мінімального або максимального значення MinMax
  11. Бюджетна система України: основні характеристики
  12. Валовий внутрішній продукт: поняття та методи розрахунку

Диференціальні рівняння

Диференціальні рівняння першого порядку

Основні поняття і визначення

Диференціальне рівняння першого порядку є:

, (7.1)

рівнянням, яке розв‘язане відносно похідної.

,. (7.2)

диференціальна форма рівняння першого порядку

. (7.3)

Початкова умова для диференціального рівняння першого порядку

чи . (7.4)

7.1.2. Типи рівнянь і методи їх розв‘язання

Рівняння із змінними, що розділяються

. (7.5)

Загальний розвʹязок цього рівняння має вигляд

. (7.6)

Приклади. 1.0 Знайти загальний розв‘язок диференціального рівняння:

.

Розділимо змінні

чи , тоді .

Інтеграл, що стоїть в лівій частині, береться по частинах

і

- це і є загальний інтеграл початкового диференціального рівняння.

2.0 Знайти розв‘язок диференціального рівняння за умовою у(2) = 1 (задача Коші).

Маємо , або звідки

і

при у(2) = 1 отримуємо

Разом: або - частковий розв‘язок;

3.0 Розв‘язати рівняння

Маємо , , або

. Загальний розв‘язок має вигляд .

4.0 Розв‘язати рівняння

Маємо

5.0 Розв‘язати рівняння за умовою у(1) = 0 (задача Коші).

Маємо ,

Інтеграл, що стоїть в лівій частині братимемо по частинах

.

.

Якщо у(1) = 0, то

Таким чином, розв‘язок задачі Коші є .

6.0 Розв‘язати рівняння .

. Спростимо це рівняння

чи , або

Проводячи інтегрування, отримуємо загальний інтеграл:

.

7.0 Розв‘язати рівняння .

Перетворимо задане рівняння: ,

чи , .

Однорідні рівняння першого порядку

. (7.7)

Загальний розвʹязок цього рівняння має вигляд

, де . (7.8)

Приклад. Розв‘язати рівняння .

Введемо допоміжну функцію u

.

Відмітимо, що введена нами функція u завжди позитивна, оскільки інакше втрачає зміст початкове диференціальне рівняння, що містить .

Підставляємо в початкове рівняння:

Розділяємо змінні:

 

Інтегруючи, отримуємо:

Переходячи від допоміжної функції назад до функції у, отримуємо загальний розв‘язок:

Лінійні рівняння:

(7.9)

Для інтегрування лінійних неоднорідних рівнянь (Q(x)¹0) застосовуються в основному два методи: метод Бернулли і метод Лагранжа.

Метод Бернуллі. Суть методу полягає в тому, що шукана функція представляється у вигляді .

Загальний розвʹязок рівняння (7.9) методом Бернуллі має вигляд

. (7.10)

Метод Лагранжа (метод варіації довільної постійної). Суть методу полягає в тому, що шукана функція представляється у вигляді

, де тому

загальний розвʹязок рівняння (7.9) методом Лагранжа має вигляд

. (7.11)

Приклад. Розв‘язати рівняння

Спочатку приведемо це рівняння до стандартного виду:

Застосуємо отриману вище формулу: . Тоді

чи

звідки

Рівняння Бернуллі (7.12)

Для розв’язання рівняння Бернуллі застосовують підстановку , розвʹязок рівняння (7.12) має виггляд:

, (7.13)

Приклади. 1). Розв‘язати рівняння

 

Розділимо рівняння на xy2:

Вважаємо .

Вважаючи , знайдемо

.

Виробивши зворотну підстановку, отримуємо:

2). Розв‘язати рівняння

Розділимо обидві частини рівняння на

Вважаємо

.

Отримали лінійне неоднорідне диференціальне рівняння. Розглянемо відповідне йому лінійне однорідне рівняння:

Вважаємо C = C(x) і підставляємо отриманий результат в лінійне неоднорідне рівняння, з урахуванням того, що:

Отримуємо:

Застосовуючи зворотну підстановку, знаходимо остаточну відповідь:

.

Задачі для самостійного розв‘язку


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.01 сек.)